2009年高考数学总复习解题思维专题讲座之四

   数学思维的开拓性

一、概述

数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。

“数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。

在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法。

数学思维的开拓性主要体现在：

(1)    一题的多种解法

例如  已知复数满足，求的最大值。

我们可以考虑用下面几种方法来解决：

①运用复数的代数形式；

②运用复数的三角形式；

③运用复数的几何意义；

④运用复数模的性质（三角不等式）；

⑤运用复数的模与共轭复数的关系；

⑥（数形结合）运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆与有公共点时，的最大值。

(2)    一题的多种解释

例如，函数式可以有以下几种解释：

①可以看成自由落体公式

②可以看成动能公式

③可以看成热量公式

又如“1”这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷。“1”可以变换为：，等等。

1．   思维训练实例

例1  已知求证：

分析1  用比较法。本题只要证为了同时利用两个已知条件，只需要观察到两式相加等于2便不难解决。

证法1 

所以   

分析2  运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用已知的条件、定理和性质等，得出正确的结论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件。因此，证明过程必须步步可逆，并注意书写规范。

证法2  要证     

       只需证   

即       

因为      

所以只需证  

即          

因为最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。

分析3  运用综合法（综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）进行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的方法）

证法3 

即   

分析4  三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于1的形式，符合三角函数同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便。

证法4  可设

分析5  数形结合法：由于条件可看作是以原点为圆心，半径为1的单位圆，而联系到点到直线距离公式，可得下面证法。

证法5  （如图4-2-1）因为直线经过

圆的圆心O，所以圆上任意一点

到直线的距离都小于或等于圆半径1，

即     

简评  五种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法。除了证法4、证法5的方法有适应条件的限制这种局限外，前三种证法都是好方法。可在具体应用过程中，根据题目的变化的需要适当进行选择。

例2  如果求证：成等差数列。

分析1  要证，必须有成立才行。此条件应从已知条件中得出。故此得到直接的想法是展开已知条件去寻找转换。

证法1 

故    ，即    成等差数列。

分析2  由于已知条件具有轮换对称特点，此特点的充分利用就是以换元去减少原式中的字母，从而给转换运算带来便利。

证法2  设则

于是，已知条件可化为：

所以成等差数列。

分析3  已知条件呈现二次方程判别式的结构特点引人注目，提供了构造一个适合上述条件的二次方程的求解的试探的机会。

证法3  当时，由已知条件知即成等差数列。

当时，关于的一元二次方程：

其判别式故方程有等根，显然＝1为方程的一个根，从而方程的两根均为1，

由韦达定理知     即  成等差数列。

简评：证法1是常用方法，略嫌呆板，但稳妥可靠。证法2简单明了，是最好的解法，其换元的技巧有较大的参考价值。证法3引入辅助方程的方法，技巧性强，给人以新鲜的感受和启发。

例3      已知，求的最小值。

分析1  虽然所求函数的结构式具有两个字母，但已知条件恰有的关系式，可用代入法消掉一个字母，从而转换为普通的二次函数求最值问题。

解法1 

设，则

二次项系数为故有最小值。

当时，

    的最小值为

分析2  已知的一次式两边平方后与所求的二次式有密切关联，于是所求的最小值可由等式转换成不等式而求得。

解法2  即

即  当且仅当时取等号。  的最小值为

分析3  配方法是解决求最值问题的一种常用手段，利用已知条件结合所求式子，配方后得两个实数平方和的形式，从而达到求最值的目的。

解法3  设

  当时，即的最小值为

分析4  因为已知条件和所求函数式都具有解析几何常见方程的特点，故可得到用解析法求解的启发。

解法4  如图4－2－2，表示直线

表示原点到直线上的点的距离的平方。

显然其中以原点到直线的距离最短。

此时，即

所以的最小值为

注  如果设则问题还可转化为直线与圆有交点时，半径的最小值。

简评  几种解法都有特点和代表性。解法1是基本方法，解法2、3、4都紧紧地抓住题设条件的特点，与相关知识联系起来，所以具有灵巧简捷的优点，特别是解法4，形象直观，值得效仿。

例4      设求证：

分析1  由已知条件为实数这一特点，可提供设实系数二次方程的可能，在该二次方程有两个虚根的条件下，它们是一对共轭虚根，运用韦达定理可以探求证题途径。

证法1  设当时，可得与条件不合。

于是有 

该方程有一对共轭虚根，设为，于是

又由韦达定理知

分析2  由于实数的共轭复数仍然是这个实数，利用这一关系可以建立复数方程，注意到这一重要性质，即可求出的值。

证法2  设当时，可得与条件不合，

则有  ，

即 

但 

而  即

分析3  因为实数的倒数仍为实数，若对原式取倒数，可变换化简为易于进行运算的形式。再运用共轭复数的性质，建立复数方程，具有更加简捷的特点。

证法3  即

从而必有

简评  设出复数的代数形式或三角形式，代入已知条件化简求证，一般也能够证明，它是解决复数问题的基本方法。但这些方法通常运算量大，较繁。现在的三种证法都应用复数的性质去证，技巧性较强，思路都建立在方程的观点上，这是需要体会的关键之处。证法3利用倒数的变换，十分巧妙是最好的方法。

例5  由圆外一点引圆的割线交圆于两点，求弦的中点的轨迹方程。

分析1  （直接法）根据题设条件列出几何等式，运用解析几何基本公式转化为代数等式，从而求出曲线方程。这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质，圆心和弦中点的连线垂直于弦，可得下面解法。

解法1  如图4－2－3，设弦的中点的坐标为，连接，

则，在中，由两点间的距离公式和勾股定理有

整理，得  其中

分析2  （定义法）根据题设条件，判断并确定轨迹的

曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程。

解法2  因为是的中点，所以，

所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心为,半径为该圆的方程为：

化简，得  其中

分析3  （交轨法）将问题转化为求两直线的交点轨迹问题。因为动点可看作直线与割线的交点，而由于它们的垂直关系，从而获得解法。

解法3  设过点的割线的斜率为则过点的割线方程为：.

且过原点，的方程为 这两条直线的交点就是点的轨迹。两方程相乘消去化简，得：其中

分析4  （参数法）将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参数。由于动点随直线的斜率变化而发生变化，所以动点的坐标是直线斜率的函数，从而可得如下解法。

解法4  设过点的割线方程为：

它与圆的两个交点为，的中点为.

解方程组 

利用韦达定理和中点坐标公式，可求得点的轨迹方程为：

其中

分析5  （代点法）根据曲线和方程的对应关系：点在曲线上则点的坐标满足方程。设而不求，代点运算。从整体的角度看待问题。这里由于中点的坐标与两交点通过中点公式联系起来，又点构成4点共线的和谐关系，根据它们的斜率相等，可求得轨迹方程。

解法5  设则

两式相减，整理，得 

所以 

即为的斜率，而对斜率又可表示为

化简并整理，得  其中

简评  上述五种解法都是求轨迹问题的基本方法。其中解法1、2、3局限于曲线是圆的条件，而解法4、5适用于一般的过定点且与二次曲线交于两点，求中点的轨迹问题。具有普遍意义，值得重视。对于解法5通常利用可较简捷地求出轨迹方程，比解法4计算量要小，要简捷得多。