珠海市2008年高三模拟考试
数 学（理 科）试卷 2007.1.4
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：1．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合
，
，则集合
A．
B．
C．
D．
2．设
是实数，且
是实数，则
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
（其中
，
）的最小正周期是
，且
，则
A．
，
B．，
C．
， D．，
4．下列四个命题中，真命题的个数为
（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
（2）两条直线可以确定一个平面；
（3）若
，
，
，则
；
（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．
A．1 B．
5．已知
，则
的值为
A．
B．
C．1 D．2
6．设
是函数
的导函数，将
和
的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是
A． B． C． D．
7．设
，
分别为具有公共焦点
与
的椭圆和双曲线的离心率，
为两曲线的一个公共点，且满足
，则
的值为
A． B．1 C．2 D．不确定
8．已知
，
（
、
，且对任意、
都有：
①
；②
．
给出以下三个结论：（1）
；（2）
；（3）
．
其中正确的个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．
9．圆心为
且与直线
相切的圆的方程是_______________．
10．向量
、
满足
，
，
，则、的夹角为________．
11．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．
12．如右图，一个空间几何体的主视图、左视图是周长为4一个内角为
的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为________．
13．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线
与圆
的公共点个数是________．
14．（不等式选讲选做题）
、
，
，则
的最小值为______．
15．（几何证明选讲选做题）如图所示，等腰三角形
的底边
长
为6 , 其外接圆的半径长为5, 则三角形的面积是________．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
设集合
，
．
（1）求集合
；
（2）若不等式
的解集为
，求，
的值．
17．（本小题满分12分）
已知函数
．
（1）求的最值；
（2）求的单调增区间．
18．（本小题满分14分）
如图，四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，
是
的中点．
（1）求证：
；
（2）求证：
面
；
（3）求二面角
的平面角的正弦值．
19．（本小题满分14分）
已知抛物线
（为非零常数）的焦点为
，点为抛物线
上一个动点，过点且与抛物线相切的直线记为
．
（1）求的坐标；
（2）当点在何处时，点到直线的距离最小？
20．（本小题满分14分）
数列
是以为首项，
为公比的等比数列．令
，
，．
（1）试用、表示
和
；
（2）若
，
且
，试比较与
的大小；
（3）是否存在实数对
，其中，使
成等比数列．若存在，求出实数对和；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分14分）
设函数
，其中为常数．
（1）当
时，判断函数在定义域上的单调性；
（2）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；
（3）求证对任意不小于3的正整数
，不等式
都成立．
珠海市2008年高三模拟考试
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．D 2．B 3．D 4．A 5．C 6．D 7．C 8．A
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．
9．
10．
（或
） 11．
12．
13．
14．
15．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
解：
，……………………………………………… 3分
，……………………… 3分
（1）
；……………………………………………………. 2分
（2）因为
的解集为
，
所以
为
的两根，……………………………………… 2分
故
，所以
，
．……………………………………. 2分
17．（本小题满分12分）
解： 
………………………………………… 2分
………………………………………… 2分
……………………………………………………. 2分
（1）
的最大值为、最小值为
；……………………………………………… 2分
（2）单调增，故
，…………………………… 2分
即
，
从而的单调增区间为
．…………………… 2分
18．（本小题满分14分）
（1）证明：
底面
，
又
，
，故
面
面，故
………………………………………………… 4分
（2）证明：
，
，故
是
的中点，故
由（1）知，从而
面
，故
易知
，故
面
……………………………………………… 5分
（3）过点
作
，垂足为
，连结
．
由（2）知，面，故
是二面角
的一个平面角．
设
，则
，
，
从而
，故
．……………… 5分
说明：如学生用向量法解题，则建立坐标系给2分，写出相关点的坐标给2分，第（1）问正确给2分，第（2）问正确给4分，第（3）问正确给4分。
19．（本小题满分14分）
解：（1）抛物线方程为
……………………………………………………… 2分
故焦点的坐标为
………………………………………………………… 2分
（2）设
20．（本小题满分14分）
解：（1）当
时，
，
当
时，
所以
；…………………… 4分
（2）因为
，
所以
当
时，
，
当
时，
，
所以当
，
且
时，
，即
；………… 5分
（3）因为，
，所以，
因为
为等比数列，则
或
，
所以
或
（舍去），所以.………………………… 5分
21．（本小题满分14分）
解：（1）由题意知，的定义域为
，
…… 1分
当
时， 
，函数在定义域上单调递增． …… 2分
（2）①由（Ⅰ）得，当
时，函数无极值点．
②
时，
有两个相同的解
，
时，
时，函数在
上无极值点．
…… 3分
③当
时，
有两个不同解，
时，
，
,
此时 
，随
在定义域上的变化情况如下表：
减
极小值
增
由此表可知：
时，有惟一极小值点
，
…… 5分
ii) 当
时，0<
<1
此时，，随的变化情况如下表：
增
极大值
减
极小值
增
由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点
；
……
7分
综上所述：
当且仅当
时有极值点;
…… 8分
当
时，有惟一最小值点
；
当时，有一个极大值点
和一个极小值点
（3）由(2)可知当
时，函数
，
此时有惟一极小值点
且
…… 9分
…… 11分
令函数
…… 12分
…… 14分
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