辽宁省大连23中2009年高考数学第二轮复习秘笈9：

极限

第   I   卷

一 选择题（每小题5分，共60分）

1 某个命题与正整数有关，若时该命题成立，那么可推得时该命题也成立，现已知时，该命题不成立，则可以推得（    ）

A 时该命题成立                             B 时该命题不成立

C 时该命题成立                             D 时该命题不成立

2 下面四个命题中：

  （1）若是等差数列，则的极限不存在；

  （2）已知，当时，数列的极限为1或-1。

  （3）已知，则。

  （4）若，则，数列的极限是0。

其中真命题个数为（   ）

A 1                     B 2                     C 3                      D 4

3 如果存在，则的取值范围是（   ）

 A         B        C            D

4 已知，那么数列在区间为任意小的正数）外的项有（   ）

   A 有限多项                        B 无限多项         

   C 0                               D 有可能有限多项也可能无限多项

5 下列数列中存在极限的是（  ）

A     B       C        D

6 （     ）

   A  1                  B                 C                       D 2

7 （  ）

 A 1                  B                    C                    D

8 已知，其中，则实数的取值范围是（    ）

   A          B      C         D

9 在等比数列中，且前项的和为切满足，则的取值范围是（   ）

A             B               C                D

10  （    ）

A  4                B  8                C                    D

11 已知等比数列的公比为，则有，则首项的取值范围是（  ）

A                           B

C                              D

1.      已知定义在上的函数同时满足条件：①；②且 ③当时。若的反函数是，则不等式的解集为

（   ）

A             B               C               D

第   II    卷

二 填空题

13 若，则____________

14 已知函数，若存在，则的值为_________，

15 设常数，展开式中的系数为，则_____。

16已知抛物线与轴交于点A，将线段OA的等分点从坐到右依次记为，过这些分点分别作轴的垂线，与抛物线的交点依次是 ，从而得到个直角三角形，当 时，这些三角形的面积之和的极限为_________

三 解答题

17 已知函数在处连续，求实数的值。

18 已知是首项为1，公差为的等差数列，其前项和为；是首项为1，公为的等比数列，其前项和为，设，若， 

求实数和的值。

19 已知数列的通项公式为，记。

（1）写出数列的前四项。

（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明。

（3）令，求。

20 已知数列中，其前项和为，且满足。

（1）求数列的通项公式。

（2）若数列满足，为前项和，若，求实数的值。

21 若不等式对一切正整数都成立，求正整数 的最大值，并证明你的结论。

22 已知数列，与函数满足条件：。

  （1）若，且存在，求实数的取值范围，并用表示。

  （2）若函数为上的函数，，试证明对任意的。

1 D 解析：由已可知，该命题满足数学归纳法定义，即存在某自然数，当时，对所有 均成立，而时，命题不成立，是针对命题不成立中的有限项，显然针对时，

命题不会成立。，故选D。

2 A 解析：若为常数列，可知（1）为假命题；而由极限存在的唯一性，可知（2）也为假命题；对于（3）满足极限定义可知是正确的；对于（4），由于与极限定义矛盾，应该趋于该数时的项，即不为0，故（4）也为假命题。故选A。

3 D 解析：当时，极限显然不存在，而时，可得为常数数列存在极限，时，为摆动数列，极限不存在，故选D。

4 B解析：由，存在自然数，当时，无限趋于，而数列在区间为任意小的正数），即所有趋于的项应该有无数多项，选B。

5 D解析：容易知道A应该为项为0和2的摆动数列，不存在极限；B为包含三个项1，0，-1循环出现的数列，不存在极限；C一定不存在极限；而D中为两个特征列，而时，故极限存在，故选D。

6 C解析：    

                                                                                                                                                                                                                                     ，选C。

7 C解析：                                        

     故有，选C。

8 C解析：当时，而当时， ，故选C。

9 D解析：                                                 

 ，故选D。

10 C 解析：原式=，选C。

11 D 解析：由可知或，故知D符合题意。

12 C 解析：由反函数定义可知，而，故函数是上的增函数，故有也是定义域上的增函数，由可知C符合题意。

13  解析：                                                     

14 解析：，

故易得

15 解析：，由由，所以，所以为1。

16 解析： 可分别表示各个三角形的面积后再求。，

， =，故

17解析：因为在处连续，则存在，即存在且相等，存在，则中必定含有因式。即是方程的根，故有，①则，

同样存在， 则含有因式，则即是方程的根，即有，②故有，故有，③，故有，再由，故有。

18解析：由题可知，，故有

     ，故

，故有

，并项整理可得

，由极限定义，必有

19解析：（1）由，可得，于是有

（2）可猜测，现在用数学归纳法证明之。

① 当时，由于归纳已经证明符合猜测。

② 假设时，猜测成立，即，而

则有时，

  ，即对时，猜测仍然成立。

（3） ，

。

20解析：（1）

      ，化解可得

，由于，故有，即为公差为4的等差数列，再由，故有。

（2） 由有，

，故有

，由于其他部分为常数，故必然有存在，即有，此时有

21解析：当时。可猜测的最大值为25。下面用数学归纳法证明。

（1）时，命题成立已经证明。

（2）假设时，命题成立，即，

则当时，

=

故有

  ，即命题对于时也成立。

故的最大值为25。

22解析：（1）由题设可知，即，两式子相减，可得，则是公比为的等比数列，首项为，

则，，左右两边分别相加可得，故可得

，由于存在，则

 存在，故有，故且

。

（2）因，故有，即 ，

下面用数学归纳法证明之。

①  当时，由为增函数，且，得

，即命题成立。

 ②  假设命题当时成立，即，则由为增函数，可得

    ，从而，

即命题对时仍然成立，故对任意的成立。