1、(江苏运河中学2009年高三第一次质量检测)设数列的前项和为，为常数，已知对，当时，总有

⑴ 求证：数列｛｝是等差数列；

 ⑵ 若正整数n, m, k成等差数列，比较与的大小，并说明理由！

⑶ 探究 ：  “对，当时，总有”

是“数列｛｝是等差数列”的充要条件吗？并给出证明！由此类比，

你能给出数列｛｝是等比数列（公比为，且）的充要条件吗？

⑴证明：∵当n＞m时，总有

        ∴ 当n≥2时，即       …2分

且n＝1也成立                                      ………………3分

        ∴ 当n≥2时，

        ∴数列｛｝是等差数列                              ………………5分

⑵解： ∵正整数n, m, k成等差数列，∴

∴

                                          ………………9分

∴ ① 当d＞0时，

② 当d＜0时，

③ 当d＝0时，                          ………………10分 

⑶   由⑴充分性已经得证，下面证必要性

   ∵ 数列{a_n}是等差数列

 ∴当n＞m时，

    ∴

    ∴  “对，当时，总有”

是“数列｛｝是等差数列”的充要条件            ………………15分

“数列｛｝是等比数列（公比为，且）”的充要条件是

“对，当时，总有”   …………18分

2、(北京五中12月考)已知函数

（1）求为数列的通项公式；

（2）令

（3）令对一切成立，求最小正整数

解：（1）

为公差的等差数列

又                                          （4分）

（2）

                                （12分）

（3）当时，

又，

        =     （9分）

        对成立。

即递增，

当时，且

        最小正整数              （12分）

3、(北京市东城区2009届高三部分学校月考)已知数列

（1）求k的值及通项公式a_n.

（2）求.

解（1）

又   （4分）

（2）由（1）   ①

当   ②

①―②

                         （12分）

4、(北京市东城区2009届高三部分学校月考)已知等差数列，且第二项、第五项、第十 四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项.

（1）求数列的通项公式；

（2）设使得对任意的；若不存在，请说明理由.

解：（1）由题意得，………………2分

整理得

 ………………4分

 ………………6分

（2）

…………10分

假设存在整数总成立。

又，

是单调递增的。 ………………12分

又的最大值为8。………………14分

5、(甘肃省兰州一中2008―2009高三上学期第三次月考)已知定义域为R的二次函数直线

    ，数列

   （I）求函数；

   （II）求数列的通项公式；

   （III）设

解：（I）设图象的两个交点

                                         …………2分

   …………4分

   （II）

                             …………6分

                …………8分

   （III）

                                                        …………12分

6、(广东省广州市2008-2009学年高三第一学期中段学业质量监测)数列是递增的等比数列，且.

(Ⅰ)求数列的通项公式;

(Ⅱ)若,求证数列是等差数列;

(Ⅲ)若……,求的最大值.

解:(Ⅰ)由 知是方程的两根,注意到得 .……2分

得.

等比数列.的公比为,……4分

(Ⅱ)……5分

……7分

数列是首项为3,公差为1的等差数列. ……8分

(Ⅲ) 由(Ⅱ)知数列是首项为3,公差为1的等差数列,有

……=……

=……10分

∵

,整理得,解得.……11分

的最大值是7. ……12分

7、(河北省衡水中学2008―2009学年度第一学期期中考试)已知数列中，.设数列的前和为

（1）   若，求数列的通项公式；

（2）   (理)当时，求 的值.

（文）当时，求.

解：（1）时，

所以是首项为，公差为的等差数列         ------------------4 分

（2）时，

  所以是首项为，公比为的等比数列

    所以  即                ------------------8分

所以                     -----------------------------12分

8、(大庆铁人中学2009届高三上学期期中考试)已知数列的前项和为，且。

（1）设，求证：数列是等比数列;

（2）设，求证：是等差数列;

（3）求。

解：（1）

（2）且

于是

即有

为等差数列，公差

又，

从而

（3），

，

又，符合

于是

9、(大庆铁人中学2009届高三上学期期中考试)已知且组成等差数列（为偶数），又.

（1）求数列的通项;

（2）试比较与3的大小，并说明理由.

解：(1) 由条件易得

10、(哈尔滨市第九中学2008―2009学年度高三第三次月考)设是一个公差为的等差数列，它的前10项和，且成等比数列。

   （1） 证明：；

   （2） 求公差的值和数列的通项公式。

答案：

11、(哈尔滨市第九中学2008―2009学年度高三第三次月考)已知数列满足

   （1） 求数列的前三项的值；

   （2） 是否存在一个实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

   （3） 求数列的前项和。

答案：（1）；（2）；（3）

12、(哈尔滨市第九中学2008―2009学年度高三第三次月考)已知数列满足

   （1）求数列的通项公式；

   （2）若数列满足，证明：是等差数列；

   （3）证明：

答案：（1）  （2）（3）略

13、(四川省成都市高2009届高中毕业班第一次诊断性检测)已知数列{a_n}满足a₁＝1，a₂＝3，且a_n＋2＝(1＋2|cos|)a_n＋|sin|，n∈N^*.

(1)证明：数列{a_2n}(k∈N^*}为等比数列；

(2)求数列{a_n}的通项公式；

(3)设b_k＝a_2k＋(－1)^k－1λ?2(λ为非零整数)，试确定λ的值，使得对任意k∈N^*都有b_k＋1＞b_k成立.

解：(1)设n＝2k(k∈N^*)
∵a_2n＋2＝(1＋2|coskπ|)a_2k＋|sinkπ|＝3a_2k，
又a₂＝3，
∴当k∈N^*时，数列{a_2k}为首项为3，公比为3的等比数列；   ……3'
(2)设n＝2k－1(k∈N^*)
由a_2k＋1＝(1＋2|cos(k－)π|)a_2k－1＋|sin(k－)π|＝a_2k－1＋1
∴当k∈N^*时，{a_2k－1}是等差数列
∴a_2k－1＝a₁＋(k－1)?1＝k ……5'
又由(1)当k∈N^*时，数列{a_2k}为首项为3，公比为3的等比数列
∴a_2k＝a₂?3^k－1＝3^k   ……6'
综上，数列{a_n}的通项公式为a_n＝   ……7'
(3)b_k＝a_2k＋(－1)^k－1λ?2＝3^k＋(－1)^k－1λ?2^k，
∴b_k＋1－b_k＝3^k＋1＋(－1)^kλ?2^k＋1－3^k－(－1)^k－1λ?2^k
         ＝2?3^k＋(－1)^kλ?3?2^k
由题意，对任意k∈N^*都有b_k＋1＞b_k成立
∴b_k＋1－b_k＝2?3^k＋(－1)^kλ?3?2^k＞0恒成立
Þ  2?3^k＞(－1)^k－1λ?3?2^k对任意k∈N^*恒成立 ……9'
①当k为奇数时，2?3^k＞λ?3?2^k  Þ  λ＜对任意k∈N^*恒成立
∵k∈N^*，且k为奇数，∴≥＝1
∴λ＜1  ……10'
②当k为偶数时，2?3^k＞－λ?3?2^k  Þ  λ＞－对任意k∈N^*恒成立
∵k∈N^*，且k为偶数，∴－≤－，∴λ＞－   ……11'
综上：有－＜λ＜1   ……12'
∵λ为非零整数，∴λ＝－1.

14、(湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题)二次函数

   （1）求并求的解析式；

   （2）若求数列并求

   （3）若求符合最小自然数n．

解：（1）

　　 又

（2）　　　　　　

（3）　　

15、(湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题)设数列，满足，且.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）对一切,证明成立；

（Ⅲ）记数列的前n项和分别为，证明

解：（Ⅰ）由，得，即数列是以为首项，以为

比的等比数列，∴

（Ⅱ）因为，所以要证明，只要证明即要证明，也即证明成立. 

构造函数.

∵，当x>0时，，

即f(x)在内为减函数，故，∴，即，

此式对一切都成立. 故成立.

（Ⅲ）∵，由（Ⅱ）可知，

∴

利用错位相减法求得

因为，所以，

于是，故

16、(江苏省盐城市田家炳中学09届高三数学综合练习)已知数列中，，前项和为

   （I）证明数列是等差数列，并求出数列的通项公式；

   （II）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值。

解：（I）由题意，当

    当

    则

    则

    即

    则数列是首项为1，公差为0的等差数列。

    从而，则数列是首项为1，公差为1的等差数列。

    所以，

   （II）

    所以，

    由于

    因此单调递增，故的最小值为

    令，所以的最大值为18。

17、(揭阳市云路中学2009届高三数学第六次测试)已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。

（Ⅰ）、求数列的通项公式；  （Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 ,  b=－2, 所以  f(x)＝3x²－2x.

又因为点均在函数的图像上，所以＝3n²－2n.

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－＝6n－5.

当n＝1时，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 （）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，

故T_n＝＝＝（1－）

因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.

18、(揭阳市云路中学2009届高三数学第六次测试)已知数列满足

    （I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；

    （II）若数列满足证明是等差数列。

解：（I）证明：

是以为首项，2为公比的等比数列。

（II）解：由（I）得

（III）证明：

　　　　　　　　①

　　②

②－①，得……10分

即　　　　　③

　　　　　④

④－③，得

即是等差数列.

19、(辽宁省大连市第二十四中学2009届高三高考模拟)已知数列{a_n}中，

   （1），数列{b_n}满足，求证：数列{b_n}是等差数列；并求数列{a_n}的通项公式；

   （2）若1<a₁<2，求证：1<a_n+1<a_n<2.

（1）证明：，

    故数列{b_n}是首项为，公差为1的等差数列；………………3分

   依题意有

    故……………………………………………………………………6分

   （2）证明：先证1<a_n<2

    ①当n=1时，1<a₁<2成立；

    ②假设当n=k时命题成立，即1<a_k<2，

    当

    故当n=k+1时命题成立，

    综合①②命题对任意时都成立，即1<a_n<2…………………………9分

    下面证

    所以1<<2成立.……………………………………………………12分

20、(山东省平邑第一中学2009届高三元旦竞赛试题)数列

   (Ⅰ)求并求数列的通项公式；

(Ⅱ)设证明：当

解:(Ⅰ)因为所以

一般地，当时，

＝，即

所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此

当时，

所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此

故数列的通项公式为

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，      ①

     ②

   ①-②得，

   所以

   要证明当时，成立，只需证明当时，成立.

   证法一

   (1)当n = 6时，成立.

   (2)假设当时不等式成立，即

   则当n=k+1时，

   由(1)、(2)所述，当n≥6时，.即当n≥6时，

证法二

   令，则

   所以当时，.因此当时，

于是当时，综上所述，当时，

21、(四川省成都市2009届高三入学摸底测试)已知数列的首项为，前项和为，且对任意的，当n≥2时，a_n总是3S_n－4与2－S_n的等差中项．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设，是数列的前项和，求；

（Ⅲ）设，是数列的前项和，，，试证明：．

解：（Ⅰ）当n≥2时，2a_n＝3S_n－4＋2－S_n，

即2(S_n－S_n－1)＝3S_n－4＋2－S_n，

所以S_n＝ S_n－1＋2

∴(n≥2)

又2＋a₂＝×2＋2＝3  Þ  a₂＝1  Þ 

∴数列{a_n}是首项为2，公比为的等比数列

∴a_n＝2^2－n(n∈N^*)

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n＝2^2－n(n∈N^*)

则T_n＝b₁＋b₂＋……＋b_n

    ＝2×2＋3×1＋4×＋……＋(n＋1)×2^2－n

∴ T_n＝    2×1＋3×＋……＋n×2^3－n＋(n＋1)×2^2－n,

作差得： T_n＝2×2＋1＋＋＋……＋2^3－n－(n＋1)2^2－n

            ＝6－

∴T_n＝12－(n∈N^*)

（Ⅲ）证明：

22、(河南省实验中学2008-2009学年高三第二次月考)在数列中，表示该数列的前n项和.若已知

（1）求证：数列是等比数列；

（2）求数列的通项公式.

解（1）

      以3为公比的等比数列……………………6分

 （2）由（1）知，

      不适合上式，

23、(河南省实验中学2008-2009学年高三第二次月考)已知奇函数

（Ⅰ）试确定实数a的值，并证明f（x）为R上的增函数；

（Ⅱ）记求；

（Ⅲ）若方程在（－∞，0）上有解，试证     

解：（I）得

                                           （2分）

        设

        在R上单调递增                                       （4分）

（Ⅱ）                                     （5分）

                           （7分）

 （III）

        又f（x）为奇函数，且在R上为单调增函数

                                                  （9分）

        当

        欲使上有解

          （10分）∴f(－1)＜f(α)＜f(0)即

24、(河南省实验中学2008-2009学年高三第二次月考)数列：满足

(Ⅰ) 设，求证是等比数列；

(Ⅱ) 求数列的通项公式;

（Ⅲ）设,数列的前项和为,求证:

^{解：(Ⅰ)由得}　　　　

，即　，

 是以２为公比的等比数列　　　　　　…………４分

 (Ⅱ) 又　　　　　　　　　　　

即 ，　　　　　　　

故　　　　　　　　　…………8分

（Ⅲ）=

又

25、(湖北省武汉市教科院2009届高三第一次调考)已知二次函数的解集有且只有一个元素，设数列的前n项和

   （1）求数列的通项公式；

   （2）设，求数列的前n项和Tn;

   （3）（理科）设各项均不为0的数列中，所有满足的正整数m的个数，称为这个数列的变号数，若，求数列的变号数。

解：（1）的解集有且只有一个元素

　　又由

　　当

　　当

　　　　　…………………………………（文6分，理5分）

   （2）     ①

    ②

由①－②得

…………………………………………（文13分，理10分）

   （3）（理科）由题设

       综上，得数列共有3个变号数，即变号数为3.……………………（理13分）

26、(湖南省长郡中学2009届高三第二次月考)已知数列{a_n}满足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n－1（n≥2，n∈N*），若数列是等比数列.

   （Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

   （Ⅱ）求证：当k为奇数时，；

   （Ⅲ）求证：

得=2或=－3   …………………………2分

当=2时，可得为首项是 ，公比为3的等比数列，

则  ①

当=－3时，为首项是，公比为－2的等比数列，

∴  ②

①－②得，    ………………4分

（注：也可由①利用待定系数或同除2ⁿ⁺¹得通项公式）

（Ⅱ）当k为奇数时，

∴    ……………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知k为奇数时，  …………10分

①当n为偶数时，  

②当n为奇数时，

=  ………………13分

27、(2008年重庆一中高2009级第一次月考)设数列前项和为，且。其中为实常数，且。

（1）求证：是等比数列；

（2）若数列的公比满足且，求的通项公式；

（3）若时，设，是否存在最大的正整数，使得对任意均有成立，若存在求出的值，若不存在请说明理由。

解：（1）由，得，两式相减，得，∴，∵是常数，且，，故

为不为0的常数，∴是等比数列。

（2）由，且时，，得，∴是以1为首项，为公差的等差数列，

∴，故。

（3）由已知，∴

相减得：，∴，

，递增，∴，对均成立，∴∴，又，∴最大值为7。

28、(黑龙江哈尔滨三中2008年12月高三月考)已知数列的前n项和为S_n，且，等比数列中，且的等差中项为．

（1）求证：数列为等差数列；

（2）请选择一个符合已知条件的且满足的数列，并求数列的前n项和T_n．

解：（1）

           ①…………………………………………2分

      ②

②-①得 

∵，∴，即

∴为等差数列…………………………………………………………6分

（2）答案不唯一

令，若令

由得，∴

若     则  ……………………………………10分

若   则  ………………………12分

29、(黑龙江哈尔滨三中2008年12月高三月考)如图，把正分成有限个全等的小正三角形，且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数，使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等．设点A为第一行，．．．，BC为第n行，记点A上的数为，第i行中第j个数为．若．

（1）求；

（2）试求第n行中第m个数的表达式（用n、m表示）；

（3）记，求证：

解：（1）……………………………………………………3分

（2）             ……………………………………………………7分

（3）

当时，，所以

当时，，则

又

所以………………………………………………12分

30、(湖北黄陂一中2009届高三数学综合检测试题)已知定义在上的函数满足：时，,其中。

   (1)求的值；

   (2)由函数的图象，轴及直线所围成的平面图形的面积记为，试比较与的大小。

解：(1)由已知，………(2分)

    ……………………………………(4分)

   (2)的图象由原点出发，在第一象限内首尾相接的折线，

    是两个直角梯形的面积之和.

    于是，当时，

    故，当且仅当n＝2时取等号.……………………(12分)

31、(山东省临沂高新区实验中学2008-2009学年高三12月月考)已知数列

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列

解：（1）当； …………1分

    当………3分

    ，

…………4分

（2）令  …………5分

    当；

    当

综上， …………12分

32、(陕西省西安铁一中2009届高三12月月考)已知各项都不相等的等差数列的前六项和为60，且的等比中项. 

 （I）求数列的通项公式；

   （II）若数列的前n项和T_n  .

解：（I）设等差数列的公差为，则

                                 …………2分

        解得                                    …………4分

        .                                  …………5分

                              …………7分

   （II）由

                                      …………10分

                                …………12分

                                             …………14分

33、(上海市张堰中学高2009届第一学期期中考试)已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的都满足.

（1）求、的值.

（2）判断的奇偶性，并证明你的结论.

（3）若，，求数列的前项和.

解：（1）

（2）是奇函数

证明： 

是奇函数

（3）当时，

令

，

又，

34、(天津市汉沽一中2008~2009学年度高三第四次月考试题)如图，是曲线

上的个点，点在轴的正半轴上，是正三角形(是坐标原点) .

(Ⅰ) 写出；

(Ⅱ)求出点的横坐标关于的表达式；

(Ⅲ)设，若对任意正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

解：(Ⅰ) .…………………………………………… 2分

(Ⅱ)依题意，则

，… 3分

在正三角形中，有

 .

.…………………………………………………… 4分

，

 ，                       ①

同理可得 .                 ②

①-②并变形得

，

 ，                 ………………………………… 6分

 .       

∴数列是以为首项，公差为的等差数列.

 ， …………………………………… 7分

，

.

.                             ………………………… 8分

(Ⅲ)解法1 ：∵，

∴.

.

∴当时，上式恒为负值，

∴当时，，

∴数列是递减数列.         

的最大值为.   ………………………………………………… 11分

若对任意正整数，当时，不等式恒成立，则不等式在时恒成立，即不等式在时恒成立.

    设，则且，

∴

解之，得  或，

即的取值范围是.…………………………………………… 14分

解法2：∵，

设，则

.

当时，，

在是增函数.

∴数列是递减数列.

的最大值为.   ………………………………………………… 11分

(以下解答过程与解法1相同)

35、(厦门市第二外国语学校2008―2009学年高三数学第四次月考)已知是一个等差数列，且，．

（Ⅰ）求的通项；   （Ⅱ）求前n项和S_n的最大值．

解：（Ⅰ）设的公差为，由已知条件，，解出，．

所以．

（Ⅱ）．

所以时，取到最大值．

36、(重庆市大足中学2009年高考数学模拟试题)已知数列的前n项和为S_n，且S_n＝2(1－3ⁿ)

(1)求证：{a_n}为等比数列。（6分）

(2)的公比为q，若数列满足，求的前项和。（8分）

37、(西南师大附中高2009级第三次月考)数列{a_n}中，a₁ = 1，当时，其前n项和满足

（1）求S_n的表达式；

（2）设，   数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

解：(1) 当时，代入已知得

??????????????????????? 2分

化简得：???????????????????? 3分

两边同除以?????????????????? 4分

∴ ??????????????? 6分

∴ ?????????????????????????? 7分

(2) ∵ ?????? 10分

∴

?????????????????????????? 12分

38、(西南师大附中高2009级第三次月考)数轴上有一列点P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，已知当时，点P_n是把线段P_{n ? 1} P_n+1作n等分的分点中最靠近P_n+1的点，设线段P₁P₂，P₂P₃，…，P_n P_{n + 1}的长度分别为a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中a₁ = 1．

（1）写出a₂，a₃和a_n（，）的表达式；

（2）证明a₁ + a₂ + a₃ +…+a_n < 3（）；

（3）设点M_n( n，a_n)（n > 2，），在这些点中是否存在两个点同时在函数的图像上，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：(1) 由已知，

令n = 2，P₁P₂ = P₂P₃，所以a₂ = 1，????????????????? 1分

令n = 3，P₂P₃ = 2P₃P₄，所以，???????????????? 2分

同理，．

所以?? 5分

(2) 因为

所以

．

而n = 1时，易知a₁ = 1 < 3成立，所以? 10分

(3) 假设有两个点A（p，a_p），B（q，a_q），都在函数

即．所以．

消去k得，……①

以下考查数列{b_n}，的增减情况，

，

当n > 2时，n² ? 3n + 1 > 0，所以对于函数{b_n}有b₂ > b₃ > b₄ > … > b_n > …

所以①式不能成立，

所以，不可能有两个点同时在函数图像上．???????? 14分

39、(重庆一中2008学年高三年级上期半期考试)在数列{a_n}中，a₁=1，a_n=成公比不为1的等比数列.

   （Ⅰ）求证{}为等差数列，并求c的值；

   （Ⅱ）设

解（Ⅰ）显见a_n≠0.否则，若存在a_n=0（n＞1）.由递增式必有a_n-1=0

从而导致a₁=0这与a₁=1矛盾.

∴

故

从而

c=2或c=0         当c=0时，a₁= a₂= a₅,舍去.           故c=2

   （Ⅱ）a_n=

    故

40、(重庆一中2008学年高三年级上期半期考试)数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=.

   （Ⅰ）求c的值；

   （Ⅱ）比较的大小，并加以证明.

解：（Ⅰ）由已知

由

   （Ⅱ）由

因为

    从而             ①

下面证明                               ②

由

又

再用数学归纳法证明a_n＜2

. 

注意到

而函数

所以

这就是说，当n=k+1时结论也正确

由1°,2°可知a_n＜2对n∈N^*恒成立，从而②得证.

由已知易求

当               

当

当

41、(2009届福建省福鼎一中高三理科数学强化训练综合卷一)已知数集序列{1}, {3, 5}, {7, 9,11}, {13, 15, 17, 19},……,其中第n个集合有n个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合最小数是连续奇数，

(Ⅰ) 求第n个集合中最小数a_n的表达式；

  （Ⅱ）求第n个集合中各数之和S_n的表达式；

  （Ⅲ）令f(n)=  ，求证：2≤ .

解析: (Ⅰ) 设第n个集合中最小数a_n , 则第个集合中最小数 ,

   又第个集合中共有个数, 且依次增加2 ,           

   ∴ ,即  ,     ------2分

  ∴ ,

  相加得 ,即得 .

又  ,  ∴ .                           ------4分

    （Ⅱ）由(Ⅰ)得 ,

从而得 .                     - -----8分

    （Ⅲ）由（Ⅱ）得 , ∴ ,

   ∵

≥ ,                            - -----10分

   又当≥2 时,

                        ≤ .                -  -----12分

    ∴

           ≤

            .                     

    ∴ 2≤ .                            -  -----14分

42、(北京市东城区2008-2009学年度高三年级部分学校月考)已知数列

   （1）求k的值及通项公式a_n.

   （2）求.

解（1）

又   （4分）

   （2）由（1）   ①

当   ②

①―②

43、(北京市东城区2008-2009学年度高三年级部分学校月考)已知等差数列，且第二项、第五项、第十 四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项.

   （1）求数列的通项公式；

   （2）设使得对任意的；若不存在，请说明理由.

解：（I）由题意得，………………2分

整理得

 ………………4分

 ………………6分

   （II）

…………10分

假设存在整数总成立。

又，

是单调递增的。 ………………12分

又

的最大值为8。………………14分

44、(四川省成都市高中数学2009级九校联考)已知等差数列的前三项为a,4,3a,前n项和为S_n ,若前k项和为S_k=2550

(1)求k的值；

(2)求的值

解：（Ⅰ）由3a+a=4*2,得a=2，公差……2分

又得

整理得  ………………………2分

解得（舍去）。…………………2分

（Ⅱ）

故  ………2分

……………………………………………2分

因此，…2分

45、(福建省德化一中2009届高三上学期第三次综合测试)已知等差数列{a_n}中，.

（1）求{a_n}的通项公式；

（2）调整数列{a_n}的前三项a₁、a₂、a₃的顺序，使它成为等比数列{b_n}的前三项，求{b_n}的前n项和.

解：（1）由，得求得，…2分

∴{a_n}的公差d＝3　　　　…………………3分

∴a_n＝a₁+(n－1)d＝－2+3(n－1) ＝3n－５…………………6分

   （2）由（1），得a₁＝－2，a₂＝1，a₃＝4.

        依题意可得：数列{b_n}的前三项为b₁＝1，b₂＝－2，b₃＝4或b₁＝4，b₂＝－2，b₃＝1

   （i）当数列{b_n}的前三项为b₁＝1，b₂＝－2，b₃＝4时，则q＝－2………………8分

              ………………………………10分

   （ii）当数列{b_n}的前三项为b₁＝4，b₂＝－2，b₃＝1时，则

        .………………………………………………………………12分

…………………13分

46、(福建省德化一中2009届高三上学期第三次综合测试)已知函数f（x）＝x²－4，设曲线y＝f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线与x轴的交点为（x_n+1,0）（nN ⁺），其中x₁为正实数.

（1）用x_n表示x_n+1；

（2）若x₁＝4，记a_n＝lg，证明数列｛a_n｝成等比数列，并求数列｛x_n｝的通项公式；

（3）若x₁＝4，b_n＝x_n－2，T_n是数列｛b_n｝的前n项和，证明T_n<3.

解:（1）由题可得．所以曲线在点处的切线方程是：．即．………………2分

令，得．即．

显然，∴．………………4分

（2）由，知，同理．

　　　故．………………6分

从而，即．所以，数列成等比数列．…7分

故．即．

从而      所以………………9分

（3）由（2）知，  ∴

∴………………11分

当时，显然．………………12分

当时，

∴．

综上，． ………………14分

47、(福建省南安一中、安溪一中、养正中学2009届高三期中联考)已知等差数列，

（1）求数列的通项公式；

（2）设，试确定的值，使数列的递增数列．

48、(江苏省常州市2008-2009高三第一学期期中统一测试数学试题)已知数列的首项，前项和为，且、、（n ≥2）分

别是直线上的点A、B、C的横坐标，，设，．

⑴ 判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；

⑵ 设，证明：．

解：⑴由题意得                  4′

（n≥2），

又∵，

数列是以为首项，以2为公比的等比数列。        8′

[则（）]

⑵由及得

，                                   11′

则          13′

                                               16′

49、(江苏省常州市2008-2009高三第一学期期中统一测试数学试题)已知数列满足，且（）

（1）求的值；

（2）由（1）猜想的通项公式，并给出证明．

解：（1）由得，

求得                               3′

（2）猜想                                     5′

证明：①当n=1时，猜想成立。                            6′

②设当n=k时时，猜想成立，即，      7′

则当n=k+1时，有，

所以当n=k+1时猜想也成立                                9′

③综合①②，猜想对任何都成立。                  10′