2009年全国名校高三模拟试题分类汇编导数与极限——青夏教育精英家教网—

1、(江西省崇仁一中2009届高三第四次月考)若函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d是奇函数，且f(x)_极小值＝f(－)＝－．

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）求函数f(x)在[－1，m](m＞－1)上的最大值；

（3）设函数g(x)＝，若不等式g(x)?g(2k－x)≥(－k)²在(0，2k)上恒成立，求实数k的取值范围．

解：（1）函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d是奇函数，则b＝d＝0，

　　　∴f ^/(x)＝3ax²＋c，则

　故f(x)＝－x³＋x；………………………………4分

　　　（2）∵f ^/(x)＝－3x²＋1＝－3(x＋)(x－)　

∴f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函数，在[－，]上是减函数，

由f(x)＝0解得x＝±1，x＝0，　如图所示，

　当－1＜m＜0时，f(x)_max＝f(－1)＝0；

当0≤m＜时，f(x)_max＝f(m)＝－m³＋m，

当m≥时，f(x)_max＝f()＝．故f(x)_max＝．…………9分

（3）g(x)＝(－x)，令y＝2k－x，则x、y∈R^＋，且2k＝x＋y≥2，又令t＝xy，

则0＜t≤k²，故函数F(x)＝g(x)?g(2k－x)＝(－x)(－y)＝＋xy－

　＝＋xy－＝＋t＋2，t∈(0，k²]

当1－4k²≤0时，F(x)无最小值，不合

当1－4k²＞0时，F(x)在(0，]上递减，在[，＋∞)上递增，且F(k²)＝(－k)²，

∴要F(k²)≥(－k)²恒成立，必须，

故实数k的取值范围是(0，)]．………………14分

2、(揭阳市云路中学2009届高三数学第六次测试)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x（x10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）

解：设楼房每平方米的平均综合费为元，依题意得

则，令，即，解得

当时，；当时，，

因此，当时，取得最小值，元.

答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。

3、(揭阳市云路中学2009届高三数学第六次测试)设定义在R上的函数f (x)＝a₀x⁴+a₁x³+a₂x²＋a₃x (a _i∈R，i＝0，1，2，3 )，当时，f (x)取得极大值，并且函数y＝f¢ (x)的图象关于y轴对称。

（1）求f (x)的表达式；

（2）试在函数f (x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[－1，1]上；（3）求证：|f (sin x)－f (cos x) | ≤ (x∈R)．

解：∵f¢ (x)＝4a₀x³＋3a₁x²＋2a₂x+a₃为偶函数，∴ f ¢(-x) = f ¢(x),

∴ -4a₀x³ +3a₁x² -2a₂x + a₃ = 4a₀x³+3a₁x² +2a₂x + a₃,

∴ 4a₀x³ + 2a₂x =0对一切x Î R恒成立，

∴ a₀＝a₂＝0，∴f (x)＝a₁x³＋a₃x

又当x＝－时，f (x)取得极大值

∴ 解得∴f (x)＝x³－x，f¢ (x)＝2x²－1 4分

⑵解：设所求两点的横坐标为x₁、x₂ (x₁ < x₂)，则(2x₁²－1)(2x₂²－1)＝－1

又∵x₁，x₂∈[－1，1]，∴2x₁²－1∈[－1，1]，2x₂²－1∈[－1，1]

∴2x₁²－1，2x₂²－1中有一个为1，一个为－1，

∴或，∴所求的两点为(0，0)与(1，－)或(0，0)与(－1，)。

⑶证明：易知sin x∈[－1，1]，cos x∈[－1，1]。

当0< x < 时，f ¢ (x) < 0；当 < x < 1时，f ¢ (x)>0。

∴f (x)在[0，]为减函数，在[，1]上为增函数，

又f (0)＝0，f ()＝－，f (1)＝－，而f (x)在[－1，1]上为奇函数，

∴f (x)在[－1，1]上最大值为，最小值为－，即 | f (x) | ≤ ,

∴| f (sin x) | ≤ ，| f (cos x)| ≤ ， ∴| f (sin x)－f (cos x)| ≤ | f (sin x)|＋| f (cos x) | ≤

4、(辽宁省大连市第二十四中学2009届高三高考模拟)已知

（1）当a=1时，试求函数的单调区间，并证明此时方程=0只有一个实数根，并求出此实数根；

（2）证明：

解：（1）当a=1时，

则，所以单调增区间为（0，+∞），令，所以单调减区间为（－1，0）.2分

又…4分

（2）

令

（i）当2－a=0即a=2时，无极值，舍去.

（ii）当2－a>0即a<2时，的变化情况如下表（一）：

x

（－∞，0）

0

（0，2－a）

2－a

（2－a，+∞）

－

0

+

0

－

极小值

极大值

由题意应有满足题意………………………………8分

(3)略

5、(山东省平邑第一中学2009届高三元旦竞赛试题)设函数

(Ⅰ) 证明: 当0< a < b ,且时,ab >1;

(Ⅱ) 点P (x₀, y₀ ) (0< x₀ <1 )在曲线y＝f(x)上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用x₀表达).

证明：（I）

故f(x)在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0<a<b且f(a)=f(b)得0<a<1<b和

故

（II）0<x<1时，

曲线y=f(x)在点P（x₀，y₀）处的切线方程为：

∴切线与x轴、y轴正向的交点为

故所求三角形面积表达式为：

6、(山东省德州市宁津高中2008-2009学年高三第一次月考)已知函数

（1）若有极值，求b的取值范围；

（2）若在处取得极值时，当恒成立，求c的取值范围；

(3)若在处取得极值时，证明：对[－1，2]内的任意两个值都有．

解：（1），（1分）

令，（2分）

由得1-12b>0即（4分）

（2）∴3-1+b=0，得b=-2，（5分）

令，得，，（6分）可以计算得到，（7分）

所以，得到或（8分）

（3）可以计算得到，，（10分）

∴对[－1，2]内的任意两个值都有（12分）

7、(山东省德州市宁津高中2008-2009学年高三第一次月考)函数的定义域为（0，1]（为实数）．

（1）当a＝－1时，求函数y＝f(x)的值域；

（2）若函数y＝f(x)在定义域上是减函数，求的取值范围；

（3）求函数y＝f(x)在x∈(0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值．

解：（1），∵（0，1]

∴当且仅当，，

所以函数的值域为；（4分）

（2）因为函数在定义域上是减函数，

所以对（0，1]恒成立，

即，（0，1]，所以，所以，

故的取值范围是；（8分）

（3）当时，函数在（0，1]上单调增，无最小值，

当时取得最大值；

由（2）得当时，函数在（0，1]上单调减，无最大值，

当＝1时取得最小值2－a；

当时，函数在上单调减，在上单调增，无最大值，

当时取得最小值．（14分）

8、(山东省临沂高新区实验中学2008-2009学年高三12月月考)已知函数，有极值，曲线处的切线不过第四象限且斜率为3。

（1）求，，的值；

（2）求在[－4，1]上的最大值和最小值。

解：（1） …………1分

由题意，得 …………4分

设切线的方程为

由原点到切线的距离为，则，解得

∵切线不过第四象限，∴，∴切线的方程为

由于切点的横坐标为1，∴切点坐标为（1，4），∴，∴

∴…………6分

（2）由（1）知，

…………6分

列表如下：

－4

（-4，-2）

－2

1

+

0

－

0

+

极大值

极小值

函数值

－11

13

4

在[－4，1]上的最大值为13，最小值为－11。 …………12分

9、(天津市汉沽一中2008~2009学年度高三第四次月考试题)已知，，直线与函数、的图象都相切，且与函数的图象的切点的横坐标为.

(Ⅰ)求直线的方程及的值；

(Ⅱ)若(其中是的导函数)，求函数的最大值；

(Ⅲ)当时，求证：.

解：(Ⅰ)，

.

∴直线的斜率为，且与函数的图象的切点坐标为.

∴直线的方程为. …………………… 2分

又∵直线与函数的图象相切,

∴方程组有一解.

由上述方程消去，并整理得

①

依题意，方程①有两个相等的实数根，

解之，得

或

. …………………… 5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，

. …………………… 6分

. …………………… 7分

∴当时，，

当时，.

∴当时，取最大值，其最大值为2. …………………… 10分

(Ⅲ) . ……… 12分

，

.

由(Ⅱ)知当时，

∴当时，，

.

∴ . ………………………………… 14分

10、(厦门市第二外国语学校2008―2009学年高三数学第四次月考)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）