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湖南省2009届高三 十二校联考 第一次考试学科网
理科数学试卷学科网
总分：100分 时量：90分钟 2009年3月8日学科网
长郡中学；衡阳八中；永州四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中
石门一中；澧县一中；郴州一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中
由 联合命题学科网
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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．学科网
1.设≤4}，，（ ）学科网
试题详情
A． B．{3} C．Ф D．≤≤学科网
2.已知为虚数单位，且，则的值为（ ）学科网
A．4 B． C． D．学科网
3.在等比数列的值为（ ）学科网
A．1 B．2 C．3 D．9学科网
4.函数的图象关于点对称, 则的值是（ ）学科网
A. B. C. D. 学科网
5.抛物线的准线与双曲线的左准线重合，则此双曲线的渐近线方程是（ ）学科网
A． B． C． D． 学科网
6.函数f(x)=的部分图象是（ ） 学科网
A. B. C. D.学科网
7.已知函数满足，则的解是（ ）学科网
A． B． C． D．学科网
8.在正方体上任取三个顶点连成三角形,则所得的三角形是等腰三角形的概率是（ ）学科网
9.已知直线与圆C：相交于A、B两点，且 的面.是，则的值是（ ）学科网
A． B． C． D．与的值有关的数学科网
10．将面积为2的长方形ABCD沿对角线AC折起，使二面角D-AC-B的大小为，则三棱锥D-ABC的外接球的体积的最小值是（ ）学科网
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。学科网
11.设,则导函数的展开式中x2的系数是___________．学科网
12.已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则的取值范围是___________． 学科网
13.已知函数是奇函数，则当时，，设的反函数是，则 ．学科网
14.数列1，1，2，1，1，3，1，1，1，4，1，1，1，1，5，…，，…的第2008项为___________，前2008项的和为___________．学科网
15.如图，在平面斜坐标中，斜坐标定义为学科网
（其中分别为斜坐标系的x轴,y轴学科网
的单位向量），则点P的坐标为。若学科网
且动点满足,则点M在斜坐标系中的学科网
轨迹方程为___________．学科网
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科网
16.(本小题满分12分)学科网
已知，学科网
（1）求的最小正周期与单调递减区间；学科网
（2）在中，、、c分别是角的对边，若的面积为，求的值.学科网
17.(本小题满分12分)学科网
甲、乙两人对同一个目标各射击一次，击中目标的概率分别是和. 现他们对同一个目标各射击两次，已知“甲击中目标的次数减去乙击中目标的次数的差不超过1”的概率为.学科网
（1）求P的值；学科网
（2）设在第一次射击中目标被甲乙两人击中的总次数为，求的分布列与期望.学科网
18.(本小题满分12分)学科网
如图，五面体中，．底 学科网
面是正三角形，.四边形是矩形，二面角 学科网
为直二面角.
（1）在上运动，当在何处时，有平面,并
且说明理由；
（2）当平面时，求二面角的余弦值.
19.(本小题满分13分)
为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右图所示；由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数从左到右依次是等比数列的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列的前六项.
(1)求数列和{bn}的通项公式；
(2)求视力不小于5.0的学生人数；
(3)设,
求数列的通项公式.
20.(本小题满分13分)
已知分别是椭圆的左右焦点，其左准线与轴相交于点N，并且满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中.
（1）求此椭圆的方程；
（2）求直线AB的斜率的取值范围.
21.(本小题满分13分)
已知函数，.
（1）求在区间的最小值； （2）求证：若，则不等式≥对于任意的恒成立；
（3）求证：若，则不等式≥对于任意的恒成立.
湖南省部分重点中学2009届高三第一次联考试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
CBCDB DADCA
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11.90 12.[) 13. 14.1 ；3899 15.
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16.（本小题满分12分）
解：（1）
……3分……4分
令
的单调区间,k∈Z ．．．．．．6分
（2）由得 ．．．．．７分
又为的内角．．．．．．９分
．．．11分
．．．．12分
17. （本小题满分12分）
解:(1)记“甲击中目标的次数减去乙击中目标的次数为2”为事件A，则
，解得．．．．．4分
(2)的所有可能取值为0,1,2.记“在第一次射击中甲击中目标”为事件；记“在第一次射击中乙击中目标”为事件.
则,
,．．．．．10分
所以的分布列为
0
1
2
P
∴=．．．．．12分
18. （本小题满分12分）
解:（1）当为中点时,有平面
证明:连结交于,连结
∵四边形是矩形 ∴为中点
又为中点,从而
∵平面,平面
∴平面．．．．．4分
（2）建立空间直角坐标系如图所示,
则,,,,
．．．．．6分
所以,.
设为平面的法向量,则有,即
令,可得平面的一个法向量为,．．．．．9分
而平面的一个法向量为 ．．．．．10分
所以
所以二面角的余弦值为 ．．．．．12分
(用其它方法解题酌情给分)
19.（本小题满分13分）
解:(1)由题意知
因此数列是一个首项.公比为3的等比数列，所以.．．．．．2分
又=100―(1+3+9)
所以=87,解得
因此数列是一个首项,公差为―5的等差数列,
所以 ．．．．．4分
(2) 求视力不小于5.0的学生人数为．．．．．7分
(3) 由 ①
可知，当时， ②
①-②得，当时， ,
, ．．．．．11分
又
因此数列是一个从第2项开始的公比为3的等比数列,
数列的通项公式为．．．．．13分
20.（本小题满分13分）
解:(1)由于,
∴,解得,
∴椭圆的方程是．．．．．3分 (2)∵,∴三点共线,
而,设直线的方程为,
由消去得:
由,解得．．．．．6分
设,由韦达定理得①,
又由得:,∴②.
将②式代入①式得:,
消去得: ．．．．．10分
设,当时, 是减函数,
∴, ∴,
解得,又由得,
∴直线AB的斜率的取值范围是．．．．．13分
21. （本小题满分13分）
(1)解:
①若
∵，则，∴，即.
∴在区间是增函数，故在区间的最小值是
．．．．．2分
②若
令，得.
又当时，；当时，，
∴在区间的最小值是．．．．．4分
(2)证明:当时，，则，
∴,
当时，有，∴在内是增函数，
∴，
∴在内是增函数，
∴对于任意的，恒成立．．．．．7分
(3)证明:
,
则当时,≥
令,则,
当时, ；当时，；当时，，
则在是减函数，在是增函数，
∴，即不等式≥对于任意的恒成立．．．．．13分
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≤4}，
，
（ ）
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B．{3} C．Ф D．
≤
≤
为虚数单位，且
，则
的值为（ ）
C．
D．
的图象关于点
对称, 则
的值是（ ）
B. 
C.
D. 
的准线与双曲线
的左准线重合，则此双曲线的渐近线方程是（ ）
B．
C．
D．
的部分图象是（ ）
满足
，则
的解是（ ）
B．
C．
D．
B．
C．
D．
与圆C：
相交于A、B两点，且
的面.是
，则
的值是（ ）
B．
C．
D．与
的值有关的数
，则三棱锥D-ABC的外接球的体积的最小值是（ ）
B．
C．
D．与
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,则导函数
的展开式中x2的系数是___________．
表示的平面区域内运动，则
的取值范围是___________． 
是奇函数，则当
时，
，设
的反函数是
，则
．
，…的第2008项为___________，前2008项的和为___________．
15.如图，在平面斜坐标中
，斜坐标定义为
（其中
分别为斜坐标系的x轴,y轴
。若
满足
,则点M在斜坐标系中的
，
、
、c分别是角
的对边，若
的面积为
，求
和
. 现他们对同一个目标各射击两次，已知“甲击中目标的次数减去乙击中目标的次数的差不超过1”的概率为
.
，求
.
中，
．底 
是正三角形，
.四边形
是矩形，二面角 
为直二面角.
在
上运动，当
平面
,并 
的余弦值.
的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列
的前六项.
(1)求数列
,
的通项公式.
分别是椭圆
的左右焦点，其左准线与
，设A、B是上半椭圆上满足
的两点，其中
.
，
.
的最小值；
，则不等式
≥
恒成立；
，则不等式
恒成立.
) 13.
14.1 ；3899 15.
……3分
……4分
的单调区间
,k∈Z ．．．．．．6分
得 
．．．．．７分
为
的内角
．．．．．．９分
．．．11分
．．．．12分
，解得
．．．．．4分
的所有可能取值为0,1,2.记“在第一次射击中甲击中目标”为事件
；记“在第一次射击中乙击中目标”为事件
.
,
,．．．．．10分
=
．．．．．12分
为
中点时,有
平面
交
于
,连结
是矩形 ∴
平面
平面
如图所示,
,
,
,
,
,
. 
为平面
,即
,可得平面
,．．．．．9分
的一个法向量为
．．．．．10分
的余弦值为
．．．．．12分
是一个首项
.公比为3的等比数列，所以
.．．．．．2分
又
=100―(1+3+9)
=87,解得
是一个首项
,公差为―5的等差数列,
．．．．．4分
．．．．．7分
①
时，
②
,
, ．．．．．11分
是一个从第2项开始的公比为3的等比数列,
．．．．．13分
,
,解得
,
．．．．．3分
,∴
三点共线,
,设直线的方程为
,
消去
得: 
,解得
．．．．．6分
,由韦达定理得
①,
,∴
②.
,
得:
．．．．．10分
,当
时, 
是减函数,
, ∴
,
,又由
,
．．．．．13分
，则
，∴
，即
.
是增函数，故
，得
.
时，
；当
时，
，
．．．．．4分
时，
，则
，
,
时，有
，∴
在
，
在
恒成立．．．．．7分
,
时,
≥
,．．．．．10分
,则
,
时, 
；当
时，
；当
时，
，
是减函数，在
是增函数，
，
，
，即不等式
恒成立．．．．．13分