∴存在实数b使得     有解，…………11分

由①得代入③得，…………12分

有解，得，

………………14分

8. _{武汉市2008届高中毕业生二月调研测试文科数学试题}

函数，。

(1)求证：函数与的图象恒有公共点；

（2）当时，若函数图象上任一点处切线斜率均小于1，求实数的取值范围；

（3）当时，关于的不等式的解集为空集，求所有满足条件的实数的值。

解：（1）即证的实根。

也就是方程有非负实数根。

而

  ∴方程恒有正根

∴与图象恒有公共点……………………………………………………（4分）

（2）由题设知时   恒成立

而

∴当时   恒成立

即

而在上单调增

∴

∴的取值范围为……………………………………………………（8分）

（3）由题设知  当时，恒成立

记

若  则  不满足条件

故  而

①     当 即时，在上递减，在上递增，

于是

∴

②     当 即时，在[0，1]上递减，于是

矛盾

综上所述：……………………………………………………………………（14分）

(若用分离变的方法相应给分)

9. 武汉市2008届高中毕业生二月调研测试理科数学试题

（1）求证：当时，不等式对于恒成立 .

（2）对于在（0,1）中的任一个常数，问是否存在使得成立？

如果存在，求出符合条件的一个；否则说明理由。

（1）证明：(Ⅰ)在时，要使成立。

只需证：即需证：       ①

令，求导数

∴，又，求，故

∴为增函数，故，从而①式得证

（Ⅱ）在时，要使成立。

只需证：，即需证：         ②

令，求导数得

而在时为增函数 ,故，从而

∴在时为减函数，则，从而②式得证

由于①②讨论可知，原不等式在时，恒成立…………（6分）

（2）解：将变形为       ③

要找一个X₀>0，使③式成立，只需找到函数的最小值，

满足即可，对求导数

令得，则x= -lna，取X₀= -lna

在0< x < -lna时，，在x > -lna时，

在x=-lna时，取得最小值

下面只需证明：，在时成立即可

又令，对关于求导数

则，从而为增函数

则，从而得证

于是的最小值

因此可找到一个常数，使得③式成立   ……………………（14分）

10. 2008年电白四中高三级2月测试卷

如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，

       （1） 要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？

       （2） 若|AN| （单位：米），则当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．

 解：设AN的长为x米（x >2）

       ∵，∴|AM|＝

∴S_AMPN＝|AN|•|AM|＝ ------------------------------------- 4分

（1）由S_AMPN > 32 得  > 32 ，

       ∵x >2，∴，即（3x－8）（x－8）> 0

       ∴       即AN长的取值范围是----------- 8分

（2）令y＝，则y′＝  -------------- 10分

∵当，y′< 0，∴函数y＝在上为单调递减函数，

∴当x＝3时y＝取得最大值，即（平方米）

此时|AN|＝3米，|AM|＝米      ---------------------- 12分

11. 成都外国语学校高2008级二月月考数学试题

把函数的图象按向量平移得到函数的图象。

（1）若证明：。

（2）若不等式对于及恒成立，求实数的取值范围。

解：（1）由题设得，令则在上是增函数。故即。

（2）原不等式等价于。

令则。

令得列表如下（略）

当时，。

令则解得或。

12. 已知数列为等差数列，，且其前项和为，又正项数列满足

⑴求数列的通项公式；

⑵比较的大小；

⑶求数列的最大项；

⑷令，数列是等比数列吗？说明理由。

解：⑴设的公差为，则

且，得，从而

故   

⑵

⑶由（2）猜想递减，即猜想当≥时，                     

考察函数，当时

故在上是减函数，而≥

所以，即

于是猜想正确，因此，数列的最大项是   

⑷不是等比数列

由知

故不是等比数列                                                           

13. 已知函数，，的最小值恰好是方程的三个根，其中．

（1）求证：；

（2）设，是函数的两个极值点．

①若，求函数的解析式；         ②求的取值范围．

解：（1）三个函数的最小值依次为，，，

由，得 

∴  

，

故方程的两根是，．

故，．

，即

∴  ．

（2）①依题意是方程的根，

故有，，

且△，得．

由

 ；得，，．

由（Ⅰ）知，故，

∴  ，

∴  ．

②

（或）． 

由（Ⅰ）

∵  ，   ∴  ，

又，   ∴  ，

，（或）

∴  ．.

14. 200８年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）

已知函数，在处取得极值为2。

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）若函数在区间（m，2m＋1）上为增函数，求实数m的取值范围；

（Ⅲ）若P（x₀，y₀）为图象上的任意一点，直线l与的图象相切于点P，求直线l的斜率的取值范围.解：（Ⅰ）已知函数，…………１分

又函数在处取得极值2，　　　　　　　　　…………２分

即            ……………………4分

（Ⅱ）由，得，即

所以的单调增区间为（－1，1）…………………………     6分

因函数在（m，2m＋1）上单调递增，

则有，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………７分

解得即时，函数在（m，2m＋1）上为增函数   ………８分

（Ⅲ）

直线l的斜率…………９分

 即  令，…………１０分

则

   即直线l的斜率k的取值范围是      ………………1２分

15. 若函数

   （1）求函数的单调区间

   （2）若对所有的成立，求实数a的取值范围.

解：（1）的定义域为                                     …………12分

                                      …………2分

       ①当…………3分

       ②时

                              …………4分

                                                        …………5分

       综上：

       单调递减区间为

       的单调递增区间（0，+）         …………6分

   （2）           …………7分

                                               …………8分

       则                                                  …………9分

                                                                        …………10分

                                                    …………11分

                                                                         …………12分

       另解：              

       …………7分

                          …………8分

       单增                     …………9分

       ①当

                                                                         …………11分

       ②当

       不成立                                                            …………12分

       综上所述

16. 山东省潍坊市2008年高三教学质量检测

2008年奥运会在中国召开，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p（x）件与月份x的近似关系是

该商品的进价q(x)元与月份x的近似关系是。

   （I）写出今年第x月的需求量f(x)件与月份x的函数关系式；

   （II）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？

解：（I）当 ；                                                …………1分

当

                                                                                                         …………4分

验证，

                                     …………5分

   （II）该商场预计销售该商品的月利润为

（舍去）……9分

综上5月份的月利润最大是3125元。      …………12分

17. 江苏省滨海县08届高三第三次联考数学试卷2008-1-4

    已知函数

(1)若在上单调递增，求的取值范围；

    (2)若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值总有以下不等式成立，则称函数为区间D上的“凹函数”.试证当时，为“凹函数”

解： (1)由，得

      若函数为上单调增函数，则在上恒成立

     即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立

令，上述问题等价于，而为在上的减函数，则，于是为所求

       (2)证明：由 得

        而  ①

        又，  ∴  ②

∵   ∴，

∵  ∴  ③

由①、②、③得

即，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数

18. 如右图（1）示，定义在D上的函数，如果满足：对，常数A，都有≥A成立，则称函数在D上有下界，其中A称为函数的下界. （提示：图(1)、（2）中的常数A、B可以是正数，也可以是负数或零）

                                               （1）

（1）试判断函数在（0，＋）上是否有下界？并说明理由；

（2）又如具有右图（2）特征的函数称为在D上有上界。请你类

比函数有下界的定义，给出函数在D上有上界的定义，并判断（1）   

中的函数在（－， 0）上是否有上界？并说明理由；                   

（3）若函数在D上既有上界又有下界，则称函数在D上       (2)

有界，函数叫做有界函数．试探究函数（是常数）是否是（、是常数）上的有界函数？

解法1：∵，由得，

       ∵，      ∴，-----------------2分

∵当时，，∴函数在（0，2）上是减函数；

当时，，∴函数在（2，＋）上是增函数；

∴是函数的在区间（0，＋）上的最小值点，

∴对，都有，------------------------------------4分

即在区间（0，＋）上存在常数A=32,使得对都有成立，

∴函数在（0，＋）上有下界. ---------------------5分   

[解法2：

当且仅当即时“＝”成立

∴对，都有，

即在区间（0，＋）上存在常数A=32,使得对都有成立，

∴函数在（0，＋）上有下界.]

（2）类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：

定义在D上的函数，如果满足：对，常数B，都有≤B成立，则称函数在D上有上界，其中B称为函数的上界. -----7分

设则，由（1）知，对，都有，

∴，∵函数为奇函数，∴

∴，∴

即存在常数B=－32，对，都有,

∴函数在（－， 0）上有上界. ---------9分

（3）∵，

由得，∵

∴    ∵ ，  ∴，----------10分

∵当时，，∴函数在（0，）上是减函数；

当时，，∴函数在（，＋）上是增函数；

∴是函数的在区间（0，＋）上的最小值点， ---------------------11分

①当时，函数在上是增函数；

∴

∵、是常数，∴、都是常数

令,

∴对，常数A,B,都有

即函数在上既有上界又有下界-------------------------12分

②当  时函数在上是减函数

∴对都有

∴函数在上有界.-------------------------13分

③当时，函数在上有最小值

＝

令,令B=、中的最大者

则对，常数A,B,都有

∴函数在上有界.

综上可知函数是上的有界函数--------------14分

19. 已知函数，仅当时取得极值且极大值比极小值

   大4，求的值.

解：且是极值点

则            

仅有极值且为极大值点，为极小值点 

故   

20. 已知函数为偶函数，它的图象过点A(0,-1)，且x=1处的切线方程为2x+y-2=0。

   （1）求函数的表达式；

（2）若对任意x∈R，不等式≤都成立，求实数t的取值范围。

解：（1）∵是偶函数，

     即恒成立。

     ∴，                          ……2分

     又由图象过点，可知

     又∵，由题意知函数在点(1,0)的切线斜率为，

     故                                           ……4分

     ∴  ∴ ……6分

  （2）由 恒成立 ，且恒大于0，可得恒成立，

令                                       ……8分

       设

 （当且仅当                               

      ∴的最大值为  故实数t的取值范围是  ……12分

21. 已知，（），直线与函数、的图像都

相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1．

    （Ⅰ）求直线的方程及的值；

（Ⅱ）若（其中是的导函数），求函数的最大值；

（Ⅲ）当时，求证：．

解：（Ⅰ）依题意知：直线是函数在点处的切线，故其斜率

，

所以直线的方程为．

    又因为直线与的图像相切，所以由

，

得（不合题意，舍去）；

    （Ⅱ）因为（），所以

．

当时，；当时，．

因此，在上单调递增，在上单调递减．

因此，当时，取得最大值；

（Ⅲ）当时，．由（Ⅱ）知：当时，，即．因此，有

．

22. 某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W（吨）与时间t（小时，且规定早上6时t＝0）的函数关系为W＝100．水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，问进水量选择为第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不空）又不会使水溢出?

    设进水量选第x级，则t小时后水塔中水的剩余量为：

y＝100＋10xt－10t－100，且0≤t≤16．

根据题意0＜y≤300，∴0＜100＋10xt－10t－100≤300．?

当t＝0时，结论成立．

当t＞0时，由左边得x＞1＋10（）, 令m=，由0＜t≤16，m ≥，

记f（t）=1＋10（）=1+10m²-10m³，（m ≥）

则f¢（t）=20m ? 30 m ² =0得m = 0或m =．

∵当≤m ＜时，f¢（t）＞0；当m ＞时，f¢（t）＜0，

∴所以m =时（此时t =），f（t）最大值=1+10（）²-10（）³=≈2.48．

当t＝时，1＋10（）有最大值2.48．?

∴x＞2.48，即x≥3．

由右边得x≤＋1，当t＝16时，＋1有最小值

＋1=∈（3，4）．即x≤3．

综合上述，进水量应选为第3级．

【总结点评】本题考查数学建模的基本思想，怎么样把实际问题转化为数学问题，进而用已有的数学知识求这个数学问题的解。水塔中的水不空又不会使水溢出等到价于进出水量的平衡，进水量与选择的进水级别与进水时间相关，出水量有生活用水与工业用水两部分构成，故水塔中水的存量是一个关于进水级别与用水时间的函数，而容量为300吨的水塔就构成一个不等式，解之得问题的解.

23. 某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区.已知AB⊥BC，OA//BC，且AB=BC=4 AO=2km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向上的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在AB，BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0．1km²）.

以O为原点，OA所在直线为轴建立直角坐标系（如图）

依题意可设抛物线的方程为

故曲线段OC的方程为 

设P（）是曲线段OC上的任意一点，则|PQ|=2+，|PN|=4－^2．

∴工业园区面积S=|PQ|?|PN|=（2+）（4－²）=8－³－2²+4. 

∴S′=－3²－4+4，令S′=0

又

当时，S′>0，S是的增函数；

当）时，S′<0，S是的减函数.

时，S取到极大值，此时|PM|=2+=

而当

所以当即|PM|=，矩形的面积最大为 

答:把工业园区规划成长为宽为时,工业园区的面积最大，最大面积为9.5（km）

【解读】《考试大纲》要求利用导数求一些实际问题的最大值和最小值，而且还要求考查实践能力，因此运用导数来解决实际问题也就在高考所要求考查之列，解决这类问题的关键在于从实际问题中建立函数模型，然后利用导数来求最值.如本题根据题意建立坐标系后（这是由抛物线联想到的）建立的是三次函数模型，而引入导数以后三次函数本来就是高考的常考点，应引起足够的重视.

24．已知函数（，）在和处取到极值．

（1）求，和的值；

（2）求最大的正整数，使得时，

 ≤与≤同时成立．

解：（1）依题意可知，，   则：，--------------------------------2分

  则，         ，，

；------------------------------------------4分

（2）由（1）知，

的两个根分别是和2，

令得或，令得

即函数在区间上单调增，在区间上单调减，在区间上单调增，----------------------6分

又，，，

令，得，

其有一个根为，则分解得：，得或；--------8分

令，得，

其有一个根为2，则分解得：，得或；--------10分

则要使得，，，必须满足：；-------12分

又∵为正整数，∴最大为4，

另一方面，，

由于，则要使得，，成立，则

，即，-------14分

令，则，，

则要使得，，成立，，

（此处也可以对最大的正整数，在区间上验证）

综上所述，最大的正整数为4．----------------------------------------17分

25．已知：在函数的图象上，以为切点的切线的倾斜角为．

    （Ⅰ）求，的值；

    （Ⅱ）是否存在最小的正整数，使得不等式对于恒成立？如果存在，请求出最小的正整数；如果不存在，请说明理由；

    （Ⅲ）求证：（，）．

解：（Ⅰ） ，依题意，得，即，.  …2分

     ∵  ， ∴ .                  ……………………3分

   （Ⅱ）令，得.      …………………………4分

     当时，；当时，；

     当时，.     又，，，.     因此，当时，.

 要使得不等式对于恒成立，则.

          所以，存在最小的正整数，使得不等式对于

     恒成立.    

    （Ⅲ）方法一：

    .   又∵ ，∴ ，.   

  ∴ .

     综上可得，（，）.   ………14分

    方法二：由（Ⅱ）知，函数在 [-1，]上是增函数；在[,]上是减函数；在[，1]上是增函数.又，，，.

    所以，当x∈[-1，1]时，，即.

    ∵ ，∈[-1，1]，∴ ，.

    ∴ .……11分

    又∵，∴ ，且函数在上是增函数.

    ∴ .      …………………13分

    综上可得，（，）.……………14分

26. 已知函数，在x=1处连续.

   （I）求a的值；

   （II）求函数的单调减区间；

   （III）若不等式恒成立，求c的取值范围.

（I）解：由处连续，

可得，故                                                          …………2分

   （II）解：由（I）得

所以函数                                             …………7分

   （III）解：设

故c的取值范围为                                                                 …………13分

27. 设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②

函数的导数满足.”

   （I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；

   （II）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意

[m，n]D，都存在[m，n]，使得等式成立”，

试用这一性质证明：方程只有一个实数根；

   （III）设是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的.

解：（1）因为，…………2分 

       所以满足条件………………3分

       又因为当时，，所以方程有实数根0.

       所以函数是集合M中的元素.…………4分

     （2）假设方程存在两个实数根），

       则，………5分  不妨设，根据题意存在数

       使得等式成立，……………………7分

       因为，所以，

       与已知矛盾，所以方程只有一个实数根；…………9分

       （3）不妨设，因为所以为增函数，所以，

       又因为，所以函数为减函数，………………10分

       所以，…………11分

       所以，即…………12分

       所以

28. 已知向量=（1，0），=（0，1），函数的图象在轴上的截距为1，在=2处切线的方向向量为，并且函数当时取得极值。

（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间；（3）求的极值。

18．）

29. 将一张2×6米的硬钢板按图纸的要求进行操作：沿线裁去阴影部分，把剩余的部分按要求焊接成一个有盖的长方体水箱（⑦为底，①②③④为侧面，⑤+⑥为水箱盖，其中①与③、②与④分别是全等的矩形，且⑤+⑥=⑦），设水箱的高为x米，容积为y立方米。

   （1）写出y关于x的函数关系式；

   （2）如何设计x的大小，使得水箱的容积最大？