西安交大附中
2008―2009学年高三第一学期期末考试
数 学 试 题（理）
（全卷满分150分，用时120分钟）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
1．设集合
，
，则
等于
（ ）
Ａ．
B．R
C．
D．
2．已知
，
都是实数，那么“
”是“
”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数
的图像关于 （ ）
A．
轴对称 B．直线
对称
C．坐标原点对称 D．直线
对称
4．已知平面向量
，
，且
//
，则
＝ （ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
中，
，
，
，那么角
等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数
，则
是 （ ）
A．最小正周期为
的奇函数 B． 最小正周期为
的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D． 最小正周期为的偶函数
7．设等比数列
的公比
，前n项和为
，则
（ ）
A．2 B． 
D． 
8．函数
的反函数为 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．设
为抛物线
的焦点，
为该抛物线上三点，若
，
则
（ ）
A．9 B．
10．若
，且当
时，恒有
，则以,b为坐标点
所
形成的平面区域的面积等于 （ ）
A．
B．
C．1 D．
11．直线
绕原点逆时针旋转
，再向右平移１个单位，所得到的直线为 （ ）
A．
B．
C．
D．
12．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“
”：当
时，
；
当
时，
． 则函数
，
的最大值等于
（其中“
”和“－”仍为通常的乘法和减法） （ ）
A．－1 B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．若
，则
_________.
14．已知
，
，则
的最小值 ．
15．已知双曲线
的两条渐近线方程为
，若顶点到渐近
线的距离为1，则双曲线方程为 ．
16．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
设的内角所对的边长分别为
，且
，
．
（1）求边长；
（2）若的面积
，求的周长
．
18．本小题满分12分）设
求证：
（1）过函数
图象上任意两点直线的斜率恒大于0；
（2）
。
19．（本小题满分12分）
设是公比大于1的等比数列，为数列的前
项和．已知
，
|
求数列
的前
．
对任意
成立，求实数
是它的两个顶点，直线
与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（1）若
，求
的值；
面积的最大值．
满足
为实数
对任意
成立的充分必要条件是
；
，证明：
;
.
14．3 15．
16．
， 
，
，
．
，得到
．
，
，
．
，则x=
，f(x)= 
(t∈R)
(x∈R)
，f(
)－f(
)=
>0
∴上述不等式不能取等号，∴f(x)>3.
．
，由
．
，
，
．
．
．
．
是等差数列．
．
若 
则 
列表如下：
两边取对数, 得 
,由于
所以
（1）
, 
,即
，
的方程分别为
，
． 2分
如图，设
，其中
，
满足方程
，
．①
，得
；
在
上知
，得
．
，
，
或
．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
到
，
．????????????????????????????????????????????????????????? 9分
，所以四边形
，
，即当
时，上式取等号．所以
的最大值为
．?????????????????????? 12分
，
．
，
，由①得
，
，
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
，
时，上式取等号．所以
----------------------1分
的最小值为
，
-----------3分
的斜率为
------------5分
，
，
．
，列表如下：
，
，
上的最大值是
，
，即
时，
.假设
，且
，由数学归纳法知
，结论成立
时，
,由（1）知
，所以 
且 
，结论成立
