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广东省茂名市2009年第一次高考模拟考试
理科数学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合
中元素个数为（
）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2.在等差数列
中，若
的值为（
）
A．20 B．
3.甲校有
名学生，乙校有
名学生，丙校有
名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为
人的样本，应在这三校分别抽取学生（ ）
A.
人,人，人 B.人，
人，
人
C.
人，人，
人 D.人，
人，人
4.已知函数
对任意
都有
则
等于（ ）
A. 
或
B. 
或 C. D. 或
5.“
”是“
的展开式的第三项是
”的
条件
A.充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
6. 甲、乙两间工厂的月产值在08年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到08年11月份发现两间工厂的月产值又相同.比较甲、乙两间工厂08年6月份的月产值大小，则有（ ）
A. 甲的产值<乙的产值 B. 甲的产值=乙的产值 C. 甲的产值>乙的产值 D.不能确定
7. 已知函数
是定义域为
的偶函数,且
,若在
上是减函数,那么在
上是 ( )
A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减的函数 D. 先减后增的函数
8. 将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中，使满足条件：（1）每一个自然数“放置”在一个“整点”（横纵傺标均为整数的点）上；（2）0在原点，1在（0，1）点，2在（1，1）点，3在（1，0）点，4在（1，－1）点，5在（0，―1）点，6在（－1，－1）点，……，即所有自然数按顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上，则“放置”数字
的整点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13-15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．
9. 从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有 . (用数字作答)
10. 定义某种运算
,运算原理如图1所示,则式子:
的值是 .
11. 如图2，由两条曲线
及直线
所围成的图形的面积为
12. 已知实数
满足不等式组
,目标函数
.若取最大值时的唯一最优解是(1,3),则实数
的取值范围是 .
◆第13－15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分◆
13.（坐标系与参数方程选做题）把极坐标方程
化为直角坐标方程是
．
14.（不等式选讲选做题）函数
的最大值为_________________。
15．（几何证明选讲选做题）如图，梯形
，
，
是对角线
和
的交点，
，
则
．
三、解答题：本大题共6个小题，共80分，在答题卡的相应位置写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16、（本题满分12分）
已知
的图象如右图
（Ⅰ）求
的解析式；
（Ⅱ）说明的图象是由
的图象经过怎样的变换得到?
17、（本小题满分12分）
旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.
（Ⅰ）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率；
（Ⅱ）求选择甲线路旅游团数的分布列和期望.
18、（本小题满分14分）
已知一动圆M,恒过点F
，且总与直线
相切,
（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）探究在曲线C上,是否存在异于原点的
两点,当
时,直线AB恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.
19、（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（Ⅰ）求证：
平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离．
20、（本小题满分14分）
已知
，其中
是自然常数，
（Ⅰ）讨论
时, 的单调性、极值；
（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，
;
（Ⅲ）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
21．（本小题满分14分）
已知数列
,
,
（Ⅰ）求数列的通项公式
（Ⅱ）当
时,求证:
（Ⅲ）若函数满足：
求证：
广东省茂名市2009年第一次高考模拟考试
一、选择题：D C B B A C A C
二、填空题：9、60 ； 10、8 11、
；12、
13、
；14、1：6 ; 15、
三、解答题：
16、解：解: ( 1) 由图知A= 4…………1分 由
,得
所以
…3分
由 
,得
……………5分,
所以,
……………6分
(2) ①由
得图象向左平移
单位得
的图象……………8分
② 再由图象的横坐标缩短为原来
得
的图象…………10分
③由的图象纵坐标伸长为原来的4倍得的图象…………12分
17、解：1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P1=
……4分
（2）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3………………5分
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）= 
P（ξ=3）= 
…9分
ξ
0
1
2
3
∴ξ的分布列为：
………………10分
∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=
………………12分
18、（本小题14分）
(1) 因为动圆M,过点F
且与直线
相切,所以圆心M到F的距离等于到直线
的距离.所以,点M的轨迹是以F为焦点, 为准线的抛物线,且
,
,
所以所求的轨迹方程为
……………5分
(2) 假设存在A,B在上,
所以,直线AB的方程:
,即
即AB的方程为:
,即
即:
，令
,得
，所以,无论
为何值,直线AB过定点(4,0)
19．解：解:方法一：⑴．证明：连结OC 
………… 1分
，
．
……… 2分
在
中，由已知可得
… 3分
而
， 
………………… 4分
即
………………… 5分
∴
平面
． …………………………… 6分
⑵．解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
，
∴ 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角，…………… 8分
在
中，
是直角斜边AC上的中线，
∴
……………9分 ∴
………… 10分
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为
．
………………………… 11分
⑶．解：设点E到平面ACD的距离为
． 
，
…12分
在
中，
,
,而
，
．
∴
， ∴点E到平面ACD的距离为
…14分
方法二：⑴．同方法一．⑵．解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则
， …………… 9分
∴ 异面直线AB与CD所成角的余弦值为．…… 10分
⑶．解：设平面ACD的法向量为
则
，∴
，令
得
是平面ACD的一个法向量．又
∴点E到平面ACD的距离 
．…14分
20. （Ⅰ）
，
……1分
∴当
时，
，此时
单调递减
当
时，
，此时单调递增 ……3分
∴的极小值为
……4分
（Ⅱ）的极小值为1，即在
上的最小值为1， ∴ 
，
……5分
令
，
， ……6分
当
时，
，
在上单调递增 ……7分
∴
∴在（1）的条件下，
……9分
（Ⅲ）假设存在实数
，使
（
）有最小值3，
…9分
① 当
时，在上单调递减，
，
（舍去），所以，
此时无最小值. ……10分 ②当
时，在
上单调递减，在
上单调递增
，
，满足条件. ……11分
③ 当
时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3.
21. 解: (1) 
,两边加
得: 
,
是以2为公比, 
为首项的等比数列. 
……①
由
两边减
得: 
是以
为公比, 
为首项的等比数列. 
……②
①-②得: 
所以,所求通项为
…………5分
(2) 当
为偶数时,
当为奇数时,
,
,又
为偶数
由(1)知, 
……………………10分
（3）证明：
又
……12分
………………-14分
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