2000年高考江西、天津卷

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。

（1）B     （2）B    （3）C      （4）D     （5）D

   （6）C     （7）B     （8）C      （9）A     （10）C

   （11）C    （12）D

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。

（13）

0

1

2

0.9025

0.095

0.0025

   （14）    （15）  （16）②③

三、解答题

（5）本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力。满分10分。

解：（I）甲从选择题中抽到一题的可能结果有个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为个，所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为，所求概率为；

                                                      ――5分

（II）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为，所求概率为。

     或   ，所求概率为。

                                                      ――10分

（18甲）本小题主要考查空间向量及运算的基本知识。满分12分。

     如图，以C为原点建立空间直角坐标系O。

      （I）解：依题意得B，N，

       ∴                    ――2分

      （II）解：依题意得，B，C，。

       ∴ ，。

        。，                   ――5分

      ∴                   ――9分

（III）证明：依题意得，M

  ， ，

  ∴ ，∴              ――12分

（18乙）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力。满分

      12分。

      （I）证明：连结、AC，AC和BD交于O，连结。

∵ 四边形ABCD是菱形，

∴ AC⊥BD，BC=CD。

又∵  ，

∴ ，

∴ ，

∵ DO=OB，

∴ BD，          ――2分

但 AC⊥BD，AC∩=O，

∴ BD⊥平面。

又 平面，

∴ BD。                                      ――4分

（II）解：由（I）知AC⊥BD，BD，

∴ 是平面角的平面角。

在中，BC=2，，，

∴ 。             ――6分

∵ ∠OCB=，

∴ OB=BC=1。

∴ ，

∴ 即。

作⊥OC，垂足为H。

∴ 点H是OC的中点，且OH，

所以 。                       ――8分

（III）当时，能使⊥平面。

证明一：

∵ ，

∴ BC=CD=，

又 ，

由此可推得BD=。

∴ 三棱锥C- 是正三棱锥。                     ――10分

设与相交于G。

∵ ∥AC，且∶OC=2∶1，

∴ ∶GO=2∶1。

又 是正三角形的BD边上的高和中线，

∴ 点G是正三角形的中心，

∴ CG⊥平面。

即 ⊥平面。                           ――12分

证明二：

由（I）知，BD⊥平面，

∵ 平面，∴ BD⊥。                ――10分

当 时 ，平行六面体的六个面是全等的菱形，

同BD⊥的证法可得⊥。

又 BD∩=B，

∴⊥平面。                             ――12分  

（19）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识、分类讨论的

      数学思想方法和运算、推理能力。满分12分。

  解：（I）不等式即

            ，

  由此可得，即，其中常数。

  所以，原不等式等价于

 即                              ――3分

 所以，当时，所给不等式的解集为；

   当时，所给不等式的解集为。        ――6分

  （II）在区间上任取，，使得<。

                   。      ――8分

（i）当时，

 ∵    ，

 ∴     ，

 又   ，

 ∴   ，

 即   。

 所以，当时，函数在区间上是单调递减函数。 ――10分

（ii）当时，在区间上存在两点，，满足

，，即，所以函数在区间上不是单调函数。

综上，当且仅当时，函数在区间上是单调函数。――12分

（20）本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识。满分12分。

     解：设容器底面短边长为m，则另一边长为 m，高为

由和，得，

设容器的容积为，则有

整理，得

   ，                           ――4分

∴                                ――6分

令，有

    ，

即  ，

解得   ，（不合题意，舍去）。           ――8分

从而，在定义域（0，1，6）内只有在处使。由题意，若过小（接近0）或过大（接受1.6）时，值很小（接近0），因此，当时取得最大值

   ，

这时，高为。

答：容器的高为1.2m时容积最大，最大容积为。     ――12分

（21）本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力。满分12 

  分。

  解：（I）因为是等比数列，故有

        ，

将代入上式，得

  =，    ――3分

   即    

          =，

   整理得 ，

   解得    =2或=3。                                 ――6分

   （II）设、的公比分别为、，

   为证不是等比数列只需证。

   事实上，  ，

       。

   由于 ，，又、不为零，

   因此，，故不是等比数列。               ――12分

（22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。满分14分。

      解：如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则CD⊥轴。因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称。                                                       ――2分

依题意，记A，C，E，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高。

由定比分点坐标公式得

               ，

设双曲线的方程为，则离心率。

由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得

                ，             ①

                    ②            ――7分

由①式得         ，            ③

将③式代入②式，整理得   

                 ，

故               。                     ――10分

由题设得，。

解得             

所以双曲线的离心率的取值范围为。           ――14分