已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项的和为S_n，S_k=2550．

（Ⅰ）求a及k的值；

（Ⅱ）求

（18）（本小题满分12分）

    设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm²，画面的宽与高的比为，画面的上、下各有8cm空白，左、右各有5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小？

（19）（本小题满分12分）

如图，用A、B、C三类不同的无件连接成两个系统N₁、N₂．当元件A、B、C都正常工作时，系统N₁正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N₂正常工作．已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90．分别求系统N₁、N₂正常工作的概率P₁、P₂．    

― A ― B ― C ―

                                                   ― A ―

注意：考生在（20甲）、（20乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（20甲）计分．

（20甲）（本小题满分12分）如图，以正四棱锥V―ABCD底面中心O为坐标原点建立空

        间直角坐标系O―xyz，其中Ox//BC，Oy//AB．E为VC中点，正四棱锥底面边长

        为2a，高为h．

        （Ⅰ）求

              二面角α―VC―β的平面角，求cos∠BED的值．

（20乙）(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S―ABCD中，

        面ABCD，   

        SA=AB=BC=1，AD=

   （Ⅰ）求四棱锥S―ABCD的体积；

   （Ⅱ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.

（21）（本小题满分12分）

已知函数在点x=1处有极小值-1．试确定a、b的值．并求出

f（x）的单调区间．

（22）（本小题满分14分）

设曲线有4个不同的交点．

（Ⅰ）求θ的取值范围；

（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．

参  考  答  案

（1）B （2）B （3）C （4）A （5）D （6）A  （7）A （8）C （9）A （10）B （11）D （12）D

（13）2  （14）16  （15）②  （16）1

（17）本小题主要考查数列求和以及极限的基本概念和运算，考查综合分析的能力．

解：（I）设该等差数列为{a_n}， 则

        由已知有解得首项公差

        代入公式得

        即解得k=50，k=－51（舍去） 

   （II）由

（18）本小题考查建立函数关系式，求函数最小值的方法和运用数学知识解决问题的能力．

      解：设画面高为xcm，宽为λxcm，则

          设纸张面积为S，有

          将代入上式得

          当即时，S取得最小值．

          此时，高：宽：

      答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小．

（19）本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解

     决实际问题的能力．

解：分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C，由已知条件

    P（A）=0.80, P(B)=0.90,  P(C)=0.90.

    （I）因为事件A、B、C是相互独立的，所以，系统N₁正常工作的概率

         P₁=P（A?B?C）=P（A）?P（B）?P（C）=0.80×0.90×0.90=0.648.

    故系统N₁正常工作的概率为0.648.

    （II）系统N₂正常工作的概率

     故系统N₂正常工作的概率为0.792.

（20甲）本小题主要考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法；

        考查运用向量研究空间图形的数学思想方法．

解：（I）由题意知B（a，a，0），C（?a，a，0），D（?a，?a，0），E

        由此得

        由向量的数量积公式有

    （II）若∠BED是二面角α―VC―β的平面角，则，即有=0．

         又由C（－a，a，0），V（0，0，h），有且

         即这时有

（20乙）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，满分12分．

       解：(Ⅰ)直角梯形ABCD的面积是

               M_底面=                                                               

       ∴四棱锥S―ABCD的体积是

               V= =.

（Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱．

           ∵AD∥BC, BC=2AD,          ∴EA=AB=SA, ∴SE⊥SB，

     ∴  SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线，又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SE是CS在

         面SEB上的射影，∴ CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角.                            

∵ 

       即所求二面角的正切值为

（21）本小题考查函数和函数极值概念，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分析和解决数学问题的

      能力．

      解：由已知，可得

                   ①

           又

                 ②

          由①、②，可解得

          故函数的解析式为

          由此得

          根据二次函数的性质，当或x＞1时，

          当时，  因此，在区间和上，函数f（x）为增函数；在区间内，函数f（x）为减函数．

（22）本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力．

解：（I）两曲线的交点坐标（x，y）满足方程组

          即

有4个不同交点等价于且即

又因为所以得的取值范围为（0，

（II）由（I）的推理知4个交点的坐标（x，y）满足方程

即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为

因为在上是减函数，所以由知r的取值范围是