如图，用A、B、C三类不同的无件连接成两个系统N₁、N₂．当元件A、B、C都正常工作时，系统N₁正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N₂正常工作．已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90．分别求系统N₁、N₂正常工作的概率P₁、P₂．    

―      A ― B ― C ―

                                                   ― A ―

（19）（本小题满分12分）

设是R上的偶函数．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．

注意：考生在（20甲）、（20乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（20甲）计分．

（20甲）（本小题满分12分）如图，以正四棱锥V―ABCD底面中心O为坐标原点建立空

        间直角坐标系O―xyz，其中Ox//BC，Oy//AB．E为VC中点，正四棱锥底面边长

        （Ⅰ）求

        （Ⅱ）记面BCV为α，面DCV为β，若∠BED是

              二面角α―VC―β的平面角，求∠BED．

（20乙）本小题满分12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S―ABCD中，

        面ABCD，   

        SA=AB=BC=1，AD=

   （Ⅰ）求四棱锥S―ABCD的体积；

   （Ⅱ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.

（21）（本小题满分12分）

某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14m，CC′=18m，BB′=22m，塔高20m．

（Ⅱ）求冷却塔的容积（精确到10m³，塔壁厚度不计，π取3.14）．

（22）（本小题满分14分）

设曲线有4个不同的交点．

（Ⅰ）求θ的取值范围；

（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．

参  考  答  案

（1）A （2）B （3）C （4）A （5）B （6）A  （7）A （8）D （9）A （10）B （11）D （12）D

（13）  （14）1.2  （15）②  （16）1

（17）本小题主要考查分式不等式的解法，考查分类讨论的数学思想．

解：原不等式的解集是下面不等式组（Ⅰ）、（Ⅱ）的解集的并集：

（Ⅰ）  （Ⅱ）

分情况讨论

（i）当a＜0或a＞1时，有a＜a²，此时不等式组（I）的解集为不等式组（II）的解集为空集φ；

（ii）当时，有a²＜a，此时，不等式组（I）的解集为空集φ，不等式组（II）的解集为

（iii）当a=0或a=1时，原不等式无解．

综上，当a＜0或a＞1时时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为当a=0或a=1时，原不等式的解集为φ.

（18）本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解

     决实际问题的能力。

解：分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C，由已知条件

    P（A）=0.80, P(B)=0.90,  P(C)=0.90.

    （I）因为事件A、B、C是相互独立的，所以，系统N₁正常工作的概率

         P₁=P（A?B?C）=P（A）?P（B）?P（C）=0.80×0.90×0.90=0.648.

    故系统N₁正常工作的概率为0.648.

    （II）系统N₂正常工作的概率

     故系统N₂正常工作的概率为0.792.

（19）本小题主要考查函数的奇偶性和单调性等基本性质，指数函数和不等式的基本性质和运算，以及综

      合分析问题的能力.

（I）解：依题意，对一切有，即

             所以对一切成立.

            由此得到即a²=1.            又因为a＞0，所以a=1.

    （II）证明一：设0＜x₁＜x₂，

         由

         即f（x）在（0，+∞）上是增函数．

         证明二：由得

                 当时，有此时

                 所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．

注意：考生在（20甲）、（20乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（20甲）计分．

（20甲）本小题主要考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法；

        考查运用向量研究空间图形的数学思想方法．

解：（I）由题意知B（a，a，0），C（?a，a，0），D（?a，?a，0），E

        由此得

        由向量的数量积公式有

    （II）若∠BED是二面角α―VC―β的平面角，则，即有=0．

         又由C（－a，a，0），V（0，0，h），有且

         即这时有

（20乙）本小题主要考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．

       解：(Ⅰ)直角梯形ABCD的面积是

               M_底面=                                                               

       ∴四棱锥S―ABCD的体积是

               V=

                =.

（Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱．

           ∵AD∥BC, BC=2AD,

          ∴EA=AB=SA, ∴SE⊥SB，

     ∴  SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线，又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SE是CS在

         面SEB上的射影，∴ CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角.                            

∵ 

       即所求二面角的正切值为

（21）本小题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组等基础知识，考查应用所学积分知识、思想

      和方法解决实际问题的能力.

解：（I）如图建立直角坐标系xOy，AA′在x轴上，AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴.

设双曲线方程为则

又设B（11，y₁），C（9，y₂），因为点B、C在双曲线上，所以有

   ②

由题意知

 ③

由①、②、③得

故双曲线方程为

    （II）由双曲线方程得

          设冷却塔的容积为V（m³），则

          经计算得

         答：冷却塔的容积为

（22）本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力．

解：（I）两曲线的交点坐标（x，y）满足方程组

          即

有4个不同交点等价于且即

又因为所以得的取值范围为（0，

（II）由（I）的推理知4个交点的坐标（x，y）满足方程

即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为

因为在上是减函数，所以由

知r的取值范围是