北京市2009届高三第二次模拟考试
数学文科
（试卷总分150分 考试时间120分钟）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.）
1．
的值是（ ）
A．
B．
C． 
D． 
2．某大学有学生1500人，其中汉族学生1200人，回族学生250人，藏族学生50人，学校食堂为了解学生的就餐情况，现抽取容量是150的样本，则抽取回族学生人数是（ ）
A．15
B．
3．已知集合
，集合
，则
（ ）
A． 
B． 
C．
D． 
4．设向量
，
，若
∥
，则
（ ）
A．-1
B．
5．已知正项等差数列
的前6项和为9，
成等比数列，则数列的公差为（ ）
A． 
B．
C．或 D． 
或
6．若双曲线
的右焦点到一条渐近线的距离等于焦距的
，则此双曲线的渐近线方程是( )
A.
y=x+3
B. y=x
7.设
、
为正实数，则下列不等式恒成立的是( )
①
；②
；③
；④
。
A. ①③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③
8．设
是
展开式的中间项，若
在区间
上恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C． 
D．
9．函数
的最小正周期是( )
A.
B.
C. 
D.
10．用平面
截半径为
的球
，若截面圆的内接正三角形
的边长亦为，则三棱锥
的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
11.设
是函数
的反函数，则
与
的大小关系为（ ）
A． 
B.
C．
D
12．直线
，
将圆面
分成若干块，现用5种颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，共有120种涂法，则m的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确的答案填在指定位置上）
13． “
”是“
表示直线
右侧区域”的 条件。
14．已知数列的前
项和
比集合
的子集个数少１，则数列通项公式是
。
15.如图，正四面体
中，
是底面上的高，
为
的中点，则与
所成角的余弦值为
。
16,已知点
为
的准线与
轴的交点,点
为焦点，点
为抛物线上两个点，若
，则向量
与
的夹角为
。
三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题满分10分)
已知
的内角
的对边分别为
，其中
，
，
（Ⅰ）若
，求
的值；
（Ⅱ）若
，求的面积。
18. (本小题满分12分)
高中会考成绩分A，B，C，D四个等级，其中等级D为会考不合格，某学校高三学生甲参加语文、数学、英语三科会考，三科会考合格的概率均为
，每科得A，B，C，D 四个等级的概率分别为
，
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若有一科不合格，则不能拿到高中毕业证，求学生甲不能拿到高中毕业证的概率；
（Ⅲ）若至少有两科得A，一科得B，就能被评为三好学生，则学生甲被评为三好学生的概率；
19．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且
，
，
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式
；
（Ⅲ）设
，求数列
的前项和
。
20．(本小题满分12分)
已知四棱锥
的底面
为直角梯形，
底面，
∥
，
，
，点
、
分别在棱
、上，且
平面
，
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的正切值的大小；
（Ⅲ）求与平面所成角正切值的大小。
21．(本小题满分12分)
已知抛物线
与椭圆
都经过点
，它们在轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。
（Ⅰ）求抛物线与椭圆的方程；
（Ⅱ）已知动直线
过点
，交抛物线于
两点，是否存在垂直于轴的直线
被以
为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。
22．(本小题满分12分)
已知函数
的导函数是偶函数，
（Ⅰ）若
，求函数的极值；
（Ⅱ）设函数在点
处的切线斜率为
，若在区间
上为增函数，求的取值范围。
1．解析：
，故选A。
2．解析：抽取回族学生人数是
，故选B。
3．解析：由
，得
，此时
，所以，
，故选C。
4．解析：∵
∥
，∴
，∴
，故选C。
5．解析：设公差为
，由题意得，
；
，解得
或
，故选C。
6．解析：∵双曲线
的右焦点到一条渐近线的距离等于焦距的
，∴
，又∵
，∴
，∴双曲线的渐近线方程是
,故选D.
7.解析：∵
、
为正实数，∴
，∴
；由均值不等式得
恒成立，
，故②不恒成立，又因为函数
在
是增函数，∴
，故恒成立的不等式是①③④。故选C.
8．解析：∵
，∴
在区间
上恒成立，即
在区间上恒成立，∴
，故选D。
9．解析：∵
，∴此函数的最小正周期是
，故选C。
10．解析：如图，∵正三角形
的边长为
，∴
，∴
，又∵
，∴
，故选D。
11．解析：∵
在区间
上是增函数且
，∴其反函数
在区间上
是增函数，∴
，故选A
12．解析：如图，①当
或
时，圆面
被分成2块，涂色方法有20种；②当
或
时，圆面被分成3块，涂色方法有60种；
③当
时，圆面被分成4块，涂色方法有120种，所以m的取值范围是
，故选A。
13．解析：将
代入
结果为
，∴
时，
表示直线
右侧区域，反之，若表示直线右侧区域，则
，∴是充分不必要条件。
14.解析：∵
，∴
时，
，又
时，
满足上式，因此，
。
15．解析：设正四面体的棱长为，连
，取的中点
，连
，∵
为
的中点，∴
∥，∴
或其补角为与
所成角，∵
，
，∴
，∴
，又∵
，∴
，∴与所成角的余弦值为
。
16．解析：∵
，∴
，∵点
为
的准线与
轴的交点，由向量的加法法则及抛物线的对称性可知，点
为抛物线上关于轴对称的两点且做出图形如右图，其中
为点
到准线的距离，四边形
为菱形，∴
，∴
，∴
，∴
，∴
，∴向量
与
的夹角为
。
17．(10分)解析：（Ⅰ）由正弦定理得，
，
，…2分
∴
，
，………4分
（Ⅱ）∵
，
，∴
，∴
，………………………6分
又∵
，∴
，∴
，………………………8分
∴
。………………………10分
18.解析：（Ⅰ）∵
，∴
；……………………理3文4分
（Ⅱ）∵三科会考不合格的概率均为
，∴学生甲不能拿到高中毕业证的概率
；……………………理6文8分
（Ⅲ）∵每科得A，B的概率分别为
，∴学生甲被评为三好学生的概率为
。……………………12分
19．(12分)解析：（Ⅰ）∵
，∴
，
，
，……………3分
（Ⅱ）∵
，∴
，
∴
，
又
，∴数列
自第2项起是公比为
的等比数列，………………………6分
∴
，………………………8分
（Ⅲ）∵
，∴
，………………10分
∴
。………………………12分
20．解析：（Ⅰ）∵
∥
，
，∴
，∵
底面
，∴
，∴
平面
，∴
，又∵
平面
，∴
，∴
平面
，∴
。………………………4分
（Ⅱ）∵平面，∴
，
，∴
为二面角
的平面角，………………………6分
，
，∴
，又∵平面，
，∴
，∴二面角的正切值的大小为
。………………………8分
（Ⅲ）过点
做
∥，交于点，∵平面，∴
为在平面内的射影，∴
为与平面所成的角，………………………10分
∵
，∴
，又∵∥，∴和与平面所成的角相等，∴与平面所成角的正切值为
。………………………12分
解法2：如图建立空间直角坐标系，（Ⅰ）∵，
，∴点
的坐标分别是
，
，
，∴
，
，设
，∵平面，∴
，∴
，取
，∴
，∴。………………………4分
（Ⅱ）设二面角的大小为
，∵平面的法向量是，平面
的法向量是
，∴
，∴
，∴二面角的正切值的大小为。………………………8分
（Ⅲ）设与平面所成角的大小为，∵平面的法向量是
，
，∴
，∴
，∴与平面所成角的正切值为。………………………12分
21.解析：（Ⅰ）设抛物线方程为，将
代入方程得
所以抛物线方程为
。………………………2分
由题意知椭圆的焦点为
、
。
设椭圆的方程为
，
∵过点，∴
，解得，
，
，
∴椭圆的方程为
。………………………5分
（Ⅱ）设
的中点为，
的方程为：
，
以为直径的圆交于
两点，中点为
。
设
，则
∵
………………………8分
∴
………………………10分
当
时，
，
，
此时，直线的方程为
。………………………12分
22．(12分)解析：（Ⅰ）∵
是偶函数，∴
，
又∵
∴
，
，………………………2分
由
得，
，
∵
时，
；
时，
；
时，；∴
时，函数
取得极大值
，
时，函数取得极小值
。………………………5分
（Ⅱ）∵
在区间
上为增函数，∴
在上恒成立，∴
且
在区间
上恒成立，………………………7分
∴
∴
……………………9分
又∵
=
，∵
∴
，∴
的取值范围是
。………………………12分
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