09届高三数学天天练8

解答题：（文科班只做前四题，理科班全做，每题15分）

1．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．

（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若m，n，试求|mn|的最小值．

2．口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．（Ⅰ）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率；

（Ⅱ）这种游戏规则公平吗?试说明理由．

3．直棱柱中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；（Ⅱ）在A₁B₁上是否存一点P，使得DP与平面BCB₁与平面ACB₁都平行？证明你的结论．

4．已知函数（a＞0，且a≠1），其中为常数．如果 是增函数，且存在零点（为的导函数）．（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁<x₂）是函数y＝g（x）的图象上两点，（ 为的导函数），证明：．

5．已知的展开式中前三项的系数成等差数列．

（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．      

09届高三数学天天练8答案

解答题：（文科班只做前四题，理科班全做，每题15分）

1.解：（Ⅰ），………………3分

即，

∴，∴． ………………………5分

∵，∴．……………………7分

（Ⅱ）mn ，

|mn|．10分

∵，∴，∴．

从而．……………………………12分

∴当＝1，即时，|mn|取得最小值．………13分

所以，|mn|．……………………………………14分

评讲建议：

    本题主要考查解三角形和向量的运算等相关知识，要求学生涉及三角形中三角恒等变换时，要从化角或化边的角度入手，合理运用正弦定理或余弦定理进行化简变形；在第二小题中，要强调多元问题的消元意识，进而转化为函数的最值问题，注意定义域的确定对结论的影响，并指明取最值时变量的取值．

2.解：（I）设“甲胜且两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为

（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个．…………2分

又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果， …………4分

所以． ……………………………………………………………6分

答：编号的和为6的概率为．………………………………………………………7分

     （Ⅱ）这种游戏规则不公平．…………………………………………………………9分

设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C， …………………………………10分

则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：

（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），

（4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）．

所以甲胜的概率P（B）＝，从而乙胜的概率P（C）＝1－＝．14分

由于P（B）≠P（C），所以这种游戏规则不公平． ……………………15分

评讲建议：

    本题主要考查古典概率的计算及其相关知识，要求学生列举全面，书写规范．尤其注意此类问题的答题格式：设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答．

引申：连续玩此游戏三次，若以D表示甲至少赢一次的事件，E表示乙至少赢两次的事件，试问D与E是否为互斥事件?为什么?（D与E不是互斥事件．因为事件D与E可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意；亦可分别求P（D）、P（E），由P（D）＋ P（E）>1可得两者一互斥．）

3.证明：（Ⅰ） 直棱柱中，BB₁⊥平面ABCD，BB₁⊥AC． ………2分

又∠BAD＝∠ADC＝90°，，

∴，∠CAB＝45°，∴， BC⊥AC．……………………5分

又，平面BB₁C₁C， AC⊥平面BB₁C₁C．  ……7分

（Ⅱ）存在点P，P为A₁B₁的中点． ……………………………………………8分

证明：由P为A₁B₁的中点，有PB₁‖AB，且PB₁＝AB．…………………………9分

又∵DC‖AB，DC＝AB，DC ∥PB₁，且DC＝ PB₁，

∴DC PB₁为平行四边形，从而CB₁∥DP．…………………………………11分

又CB₁面ACB₁，DP 面ACB₁，DP‖面ACB₁．……………………13分

同理，DP‖面BCB₁．…………………………………………………………14分

评讲建议：

本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识，第一小题要引导学生挖掘直角梯形ABCD中BC⊥AC，第二小题，要求学生熟练掌握一个常用结论：若一直线与两相交平面相交，则这条直线一定与这两平面的交线平行；同时注意问题的逻辑要求和答题的规范性，这里只需要指出结论并验证其充分性即可，当然亦可以先探求结论，再证明之，这事实上证明了结论是充分且必要的．

变题：

求证：（1）A₁B⊥B₁D；（2）试在棱AB上确定一点E，使A₁E∥平面ACD₁，并说明理由．

4.解：（Ⅰ）因为，

所以． ………………………………3分

因为h（x）在区间上是增函数，

所以在区间上恒成立．

若0<a<1，则lna<0，于是恒成立．

又存在正零点，故△＝（－2lna）²－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1与lna<0矛盾．

所以a>1．

由恒成立，又存在正零点，故△＝（－2lna）²－4lna＝0，

所以lna＝1，即a＝e． …………………………………………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ），，于是，．………………9分

以下证明．      （※）

（※）等价于． ………………………………11分

令r（x）＝xlnx₂－xlnx－x₂＋x，………………………………………………13分

r ′（x）＝lnx₂－lnx，在（0，x₂］上，r′（x）>0，所以r（x）在（0，x₂］上为增函数．

当x₁<x₂时，r（x₁）< r（x₂）＝0，即，

从而得到证明．…………………………………………………………15分

对于同理可证…………………………………………………16分

所以．

评讲建议：

此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识．评讲时注意着重导数在研究函数中的应用．本题的第一小题是常规题比较容易，第二小题是以数学分析中的中值定理为背景，作辅助函数，利用导数来研究函数的性质，是近几年高考的热点．第二小题还可以这样证明：

要证明，只要证明>1，令，作函数h（x）＝t－1－lnt，下略．

5.解：（Ⅰ）由题设，得 ， ……………………………………3分

即，解得n＝8，n＝1（舍去）．………………………………4分

（Ⅱ）设第r＋1的系数最大，则………………………………6分

即 解得r＝2或r＝3． …………………………………8分

所以系数最大的项为，．……………………………………10分

说明：掌握二项式定理，展开式的通项及其常见的应用．