A．4              B．                    C．― 4                       D．

7. 2007―2008学年湖北省黄州西湖中学二月月考试卷

  已知等比数列的首项为8，是其前n项的和，某同学经计算得S₂=20，

S₃=36，S₄=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（   ）

    A． S₁            B． S₂            C． S₃            D． S₄

解析：显然S₁是正确的．假设后三个数均未算错，则a₁=8，a₂=12，a₃=16，a₄=29，可知a₂²≠a₁a₃，故S₂、S₃中必有一个数算错了．若S₂算错了，则a₄=29=a₁q³，，显然S₃=36≠8(1+q+q²)，矛盾．只可能是S₃算错了，此时由a₂=12得，a₃=18，a₄=27，S₄=S₂+18+27=65，满足题设．选C．

评析：本题考查等比数列的基本概念与性质和学生推理的能力．

8. 上海市嘉定一中2007学年第一学期高三年级测试（二）

   等差数列{a_n}共有2n项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为                                       （    ）                                                

       A．3      B．－3   C．－2   D．－1

9. 200８年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）

正项等比数列满足,,,则数列的前10项和是

A．65        　　     B．－65       　       C．25   　　       D．－25

10. 广东省梅州揭阳两市四校2008届高三第三次联考数学理科试卷

  等差数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n、T_n，且，则使得为整数的正整数n的个数是（     ）

       A．3                        B．4                        C．5                        D．6

   ,  ;

11. 已知首项为正数的等差数列｛a_n｝满足:a₂₀₀₅+a₂₀₀₆>0,a_2005?a₂₀₀₆<0,则使前项S_n>0成立的最大自然数n是                        

   A. 4009        B.4010       C. 4011          D.4012

         由题意知:等差数列中,从第1项到第2005项是正数,且从第2006项开始为负数,S₄₀₁₀=2005(a₁+a₄₀₁₀)=2005(a₂₀₀₅+a₂₀₀₆)>0,

                S₄₀₁₁==4011a₂₀₀₆<0, 故n的最大值为4010.

           另解:由题意可得:等差数列中,从第1项到第2005项是正数,且从第2006项开始是负数,则所有的正项的和为S_n的最大值,即当n=2005时,取得最大值,显然S_n是关于n的缺常数项的二次函数,且开口向下,所以第2005项离对称轴最近,故其对称轴介于2005到2005.5之间,又因为二次函数的图象与x轴的一个交点是(0,0),则设另一个交点(x,0),x应介于4010到4011之间.所以使S_n>0的最大自然数是4010,故选B.

           本小题结论可以推广成一般结论:等差数列中,a₁>0,a_k+a_k+1>0,且a_ka_k+1<0,则使前n项和Sn>0的最大自然数n是2k..

12. 如图,在杨辉三角中,斜线l上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿数列:1,3,3,4,6,5,10,…,记其前n项和为S_n,则S₁₉等于­____________.

1

1                           1           l

                1       2       1

             1      3        3       1

           1     4       6        4      1

        1     5      10       10      5      1

    …     …     …      …       …     …    …

 283   [解析] 由条件知道:该数列的奇数项分别为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,…,偶数项分别为3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,把奇数项的前10项与偶数项的前9项相加即得S₁₉=283.

13. 下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖___________块．（用含n的代数式表示）

第（1）、（2）、（3）…个图案黑色瓷砖数依次为：15－3＝12；24－8＝16；35－15＝20；…

由此可猜测第（n）个图案黑色瓷砖数为：12＋(n－1)×4＝4n+8

14. 已知等差数列{a_n}中，a₂+a₈=8，则该数列前9项和S₉等于（    ）。

A．18         B．27         C．36         D．45

C 解：在等差数列{a_n}中，a₂+a₈=8，∴ ，则该数列前9项和S₉==36，

故选择答案C

15. 探索以下规律：

则根据规律, 从2006到2008，箭头的方向依次是(      )

  A                B               C                 D 

16. 在平面上，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点．对任意，连接原点与点，用表示线段上除端点外的整点个数，则

A．                B．               C．               D．

17. 设数列的前项和为，关于数列有下列三个命题：

      ①若数列既是等差数列又是等比数列，则；

      ②若，则数列是等差数列；

      ③若，则数列是等比数列.

这些命题中，真命题的个数是                                                                         

      A．0                         B．1                       C．2                          D．3

    D  ①不妨设数列的前三项为，则其又成等比数列，故，∴，即；②由的公式，可求出，故是等差数列；③由可求由，故数列是等比数列. 故选.

【总结点评】本题主要考查等差、等比数列的概念，与的关系，思维的灵活性.

18. 等差数列的公差且，则数列的前项和取得最大值时的项数是                  

   A．5                         B．6                       C．5或6                   D．6或7

C  由，知.          ∴，故选C．

【总结点评】本题主要考查等差数列的性质，求和公式. 要求学生能够运用性质简化计算.

19. 数列满足：，则=        ；若有一个形如的通项公式，其中A, B, ,均为实数，且，，，则此通项公式可以为=                 （写出一个即可）.

     2，（）

（注意：答案不唯一，如写成即可）

20. 等差数列的值为

       A．―2006               B．2006                   C．―2008               D．2008

21．在数列{a_n}中，a₁=2,a_n+1=＞0，则a₂₀₀₈= (   )

   A.         B.

C.         D.

由

a_n+1=-

为等差数列，且公差为1，首项为0，则

.

22. 在等差数列{a_n}中，a₁=，从第5项开始大于1，记其前n项和为S_n，若P= ，则P的取值范围是                    （   ）

A.（     B.（）      C.（]      D.（）

【解析】设{a_n}的公差为d，则    Þ  ＜d≤

又na_n+S_n=n[a₁+（n-1）d]+na₁+

，故选A，

23. 已知数列，前项和，第项满足，则等于

A、             B、          C、          D、

解：∵  ∴且 ∴  解得：  故选C；

24. 已知等比数列{}的前n项和为S_n，且S₃=7a₁，则数列{}的公比q的值为

       A．2                        B．3                        C．2或－3               D．2或3

25. 已知等差数列，则n的值为

       A．18                      B．17                      C．16                      D．15

26. 表示等差数列的前项和，若，，，则的值为
    A.28                           B.23                         C.21                            D.19

上海市浦东新区2007学年度第一学期期末质量抽测2008/1

1、由函数确定数列，,  若函数的反函数能确定数列，，则称数列是数列的“反数列”．

（1）若函数确定数列的反数列为，求；

（2）对（1）中，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的范围．

（3）设=                          （为正整数），若数列{}的反数列为，

{}与的公共项组成的数列为（公共项为正整

数）．求数列前项和．

 [解]（1）（）（为正整数），（）

所以数列的反数列的通项（为正整数）。----------------4分

（2）对于（1）中，不等式化为：

对任意正整数恒成立     ---------------------------------------------------5分

设，

，数列单调递增，-6分

所以，要使不等式恒成立，只要-------------7分

∵，∴  ---------------8分，，-----10分

所以，使不等式对于任意正整数恒成立的的取值范围是：

（3）当为奇数时，，-------------------------11分

，，则，------------------13分

所以的前项和   ------------------------------------------------14分

当为偶数时，，-------------------------------------------15分

，则，同样有，    -------------------17分

所以的前项和   --------------------------------------------18分

2、由函数确定数列，,  若函数的反函数能确定数列，，则称数列是数列的“反数列”．

（1）若函数确定数列的反数列为，求；

（2）设，数列与其反数列的公共项组成的数列为

（公共项为正整数）．求数列前10项和；

（3）对（1）中，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的范围．

 [解] （1）（）（为正整数），（）

所以数列的反数列的通项（为正整数）。----------------------4分

（2），          -------------------------------------------------5分

，则，有，    -----------------------8分

所以的前项和   -----------------------------------------10分

  （3）对于（1）中，不等式化为：

对任意正整数恒成立     -------------------------------------------------11分

设，

，数列单调递增，所以，要使不等式恒成立，只要---------------------16分

∵，∴  ---------------8分，，-------18分

所以，使不等式对于任意正整数恒成立的的取值范围是：

上海市静安区2007学年第一学期高三期末质量监控考试数学试题

3、由市场调查得知：某公司生产的一种产品，如果不作广告宣传且每件获利元，那么销售量为件；如果作广告宣传且每件售价不变，那么广告费用千元比广告费用（）千元时的销售量多件（）．

（1）       试写出销售量与的函数关系式；

（2）       当时公司应作几千元广告，销售量为多少件时，才能使去掉广告费用后的获利最大？

（1）设不做广告宣传销售量为，广告费用千元时的销售量为，依题意

，      所以=．                 

（2），设获利为元，则有

，当时，；当时，；即数列先增后减，；；                                       

所以时，最大，此时．

即该厂家应做5千元的广告，销售量为7875件产品时，能使获利最大．

4、（理）已知是首项为1，公比为2的等比数列．对于满足的整数，数列由

确定．记．求：

（1）时的值；

（2）最小时的值．

（文）已知等差数列{a_n}的首项a₁=0且公差d≠0， b_n=2 (n∈N^*)，S_n是数列{b_n}的前n项和．

(1) 求S_n；

(2) 设T_n= (n∈N^*)，当d＞0时，求．

（理）（1），                        

，                                 

=．                                       

（2）

=

因为，当且仅当即时， 等号成立．

所以当时，最小．                               

（文）(1)  a_n=(n－1)d，b_n=2=2^(n－1)d??                     

S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2⁰+2^d+2^2d+…+2^(n－1)d?

由d≠0得2^d≠1，∴S_n=．                        

 (2) T_n=，                   

当d＞0时，2^d＞1                                      

5. 江苏省阜中2008届高三第三次调研考试试题

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列的集合：①； ② M是与n无关的常数．

(1)若{}是等差数列，是其前n项的和，=4，=18，试探究与集合W之间的关系；

(2)设数{}的通项为，求M的取值范围；(4分)

(1)设等差数列的公差是d ，则a₁+2d=4，3a₁+3d=18，解得a₁=8，d =－2，

所以，(2分)，

得适合条件①.    (4分)；

又，

所以当n = 4或5时，S_n取得最大值20，即S_n  ≤ 20，适合条件②， (3分)，

综上，{}.  (1分)

(2)因为，(2分)，

所以当n≥3时，，此时数列{b_n}单调递减；(1分)

当n = 1，2时，，即b₁＜b₂＜b₃，

因此数列{b_n}中的最大项是b₃=7，所以M≥7．(3分)

6. 上海市虹口区五校联考试卷

设数列和满足，，，且数列（n∈N*）是等差数列，数列(n∈N*)是等比数列。

（1）设，求数列的通项公式；

（2）求数列和的通项公式。

（1）

(2)

7. 用表示数列从第项到第项（共项）之和．

（1）在递增数列中，与是关于的方程（为正整数）的两个根．求的通项公式并证明是等差数列；

  （2）对（1）中的数列，判断数列，，，…，的类型；

（3）对一般的首项为，公差为的等差数列，提出与（2）类似的问题，你可以得到怎样的结论，证明你的结论．

（1）解方程得，……（1分）

   ∵ 是递增数列，∴ ，，……（3分）

   ∴ 数列是等差数列，其通项公式是（为正整数）……（4分）

   （2）当为正整数时，

    ，∴ （常数）

    ∴数列，，，…，是等差数列……（5分）

   （3）（理）可以从多个方面加以推广．对一般的以为首项，为公差的等差数列，

    如照抄（2）中的问题（即三项之和）得3分，证明结论得4分，共得7分；

    如对（2）中的问题有所改变，如改为四项之和，得4分，证明得4分，共8分；

    如对（2）中的问题有所创新，如：“对于任意给定的正整数，判断数列

    ，，……，的类型”，得4分，证明结论得5分，共9分．

8. 新余市2007――2008学年度上学期高三年级期末质量检测

   蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第个图的蜂巢总数.

(1) 试给出的值，并求的表达式（不要求证明）；

(2) 证明：.

解： ⑴   …………………………………………………（4分）

由于

因此，当时，有

所以

.

又，所以.  ……………（7分）

（注：直接给出结果也给分）

⑵当时，.   …………（10分）

所以

. ……………………………………………（12分）

9. 常德市2007-2008学年度上学期高三水平检测考试题

已知数列的前n项和且=2.

(1)    求的值,并证明：当n>2时有；

(2)    求证：.

解:(1)由得,即=0.……………2分

当n>2时有

   ∴                        ……………………………6分

(2)由(1)知n>2时,……………8分

又=0,  =2也适合上式,

∴   ∴……………………10分

∴

                  =1-<1……………………………………………12分

10. 已知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且?=－2，

（1）求向量；

（2）若，其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求|+|的取值范围.

解：（1）设=（x,y），则

∴解得（2） ∴

∴

∴  ∴

11. 在等差数列中，公差，且，

（1）求的值．

（2）当时，在数列中是否存在一项（正整数），使得  ， ，成等比数列，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

（3）若自然数(为正整数)

满足< <<  < <， 使得成等比数列，

   (文科考生做)  当时，  用表示 ．　

（理科考生做）求的所有可能值．

（1）在等差数列中，公差，且，

则 

（2）在等差数列中，公差，且，

则 

又    则 

（文科）（3）在等差数列中，公差，且，

 则 

又因为公比首项，

又因为       

（理科） 成等比数列，

又    

    ＞5 ， 

12. 山东省潍坊市2007―2008学年度高三第一学期期末考试

已知数列，设

  ，数列。

   （1）求证：是等差数列；

   （2）求数列的前n项和S_n；

   （3）若一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。

解：（1）由题意知，……………………1分

∴数列的等差数列……………………4分

（2）由（1）知，

…………………………5分

于是

两式相减得

……………………8分

（3）

∴当n=1时，

当

∴当n=1时，取最大值是

又

即……………………12分

13. _{武汉市2008届高中毕业生二月调研测试文科数学试题}

设数列的前n项和，。

（1）求数列的通项公式；(2)记，求数列前n项和

解：（1）数列的前n项之和

在n=1时，

在时，

而n=1时，满足

故所求数列通项………………………………（7分）

（2）∵

因此数列的前n项和………………………（12分）

14. 武汉市2008届高中毕业生二月调研测试理科数学试题

在数列中，，其中且，且满足关系式：

(1)猜想出数列的通项公式并用数学归纳法证明之；

(2)求证：，.

（1）解：由原递推式得到       猜想得到…………（3分）

下面用数学归纳法证明      1⁰当n=1时   a₁=t―1   满足条件

2⁰假设当n=k时，则  ∴  ∴,  即当n=k+1时，原命题也成立。

由1⁰、2⁰知…………………………………………………………（7分）

(2)

而

   故t>0，且时有，即……………（13分）

15. 2008年成都名校联盟高考数学冲刺预测卷二

已知a、b、m、，是首项为a，公差为b的等差数列；是首项为b，公比为a的等比数列，且满足．

　　（1）求a的值；

　　（2）数列与数列的公共项，且公共项按原顺序排列后构成一个新数列，求的前n项之和．

（1）∵　，，

　　由已知a＜b＜a＋b＜ab＜a＋2b，

　　∴　由a＋2b＜ab，a、得．

　　∵　，　∴　a≥2．

　　又得，而，　∴　b≥3．

　　再由ab＜a＋2b，b≥3，得．

　　∴　2≤a＜3　∴　a＝2．

　　（2）设，即．

　　∴　，．

　　∵　b≥3，　∴　．　∴　．∴　．

　　故．

16. 上海市部分重点中学高三第一次联考

 数列的前n项和记为，已知，

（1）证明数列是公比为2的等比数列。

（2）求关于n的表达式。

（3）请猜测是否存在自然数，对于所有的有恒成立，并证明。

（1）证明

由已知

   （2分）

  （2）

   （3分）

  （3）猜测：存在   （1分）

   （1分）

17. 上海市部分重点中学高三第一次联考

  定义为中的最小值，若

（1）画出的图象，并写出的解析式。

（2）已知数列的通项公式为，求数列的通项公式，并求数列的各项和。

（3）求使对一切的恒成立的实数k的取值范围。

    （2分）

（2）由图可知：

（2分）

（3）（理）①当   （1分）

②当     （1分）

③当

      （1分）

故命题恒成立。

          （1分）

    （1分）

由①②③知符合题意的k的取值范围为。   （1分）

  （文）

18. 湖南省2008届十二校联考第一次考试

已知点列，且与向量垂直，其中c是不等于零的实常数，n是正整数. 设，求数列的通项公式，并求其前n项和.

解：由题意得：  …………2分

∵垂直，

∴

∵  …………4分

∴

   …………6分

当c=1时，  …………8分

当c≠1时， 

   …………12分

19. 2008年电白四中高三级2月测试卷

已知二次函数满足条件：① ； ② 的最小值为.

(1) 求函数的解析式；

(2) 设数列的前项积为, 且, 求数列的通项公式；

解： (1) 由题知:  , 解得 , 故. ………3分

(2)  ,  ………………………………………………5分

,

,  …………………………………10分

又满足上式.   所以. …………………14分

20. 江苏省省阜中2008届高三第三次调研考试数学(文科)试题

 设集合W是满足下列两个条件的无穷数列的集合：①； ②

M是与n无关的常数．

(1)若{}是等差数列，是其前n项的和，=4，=18，试探究与集合W之间的关系；

(2)设数{}的通项为，求M的取值范围；(4分)

(1)设等差数列的公差是d ，则a₁+2d=4，3a₁+3d=18，解得a₁=8，d =－2，

所以，(2分)，

得适合条件①.    (4分)；

又，

所以当n = 4或5时，S_n取得最大值20，即S_n  ≤ 20，适合条件②， (3分)，

综上，{}.  (1分)

(2)因为，(2分)，

所以当n≥3时，，此时数列{b_n}单调递减；(1分)

当n = 1，2时，，即b₁＜b₂＜b₃，

因此数列{b_n}中的最大项是b₃=7，所以M≥7．(3分)

21. 江苏省姜堰中学阶段性考试

已知正项数列{a_n}的前n项和

  （1）求数列{a_n}的通项公式

  （2）定理：若函数f(x)在区间D上是凹函数，且f’(x)存在，则当x₁>x₂  (x₁，x₂∈D)时，总有，已知函数y=xⁿ⁺¹  (n∈N*)是（0，+）上的凹函数，请根据上述定理，判断b_n与b_n+1的大小

  （3）求证：（1）n=1时，a₁=或a₁=1

  ∵{a_n}是正项数列，∴a₁=1，当n≥2时，，整理， 

   得

  ∵{a_n}是正项数列，    ∴

  ∴数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，从而a_n=n，

    ∴a_n =n  (n∈N*) 

  （2）由（1）知，对于（0，+）上的凹函数y=xⁿ⁺¹，有y’=(n+1)xⁿ，根据定理，得，整理，得，

   令，得(n+1)x₂－nx₁=1

   ∴  即   ∴

  （3）由（2），得

22. 荆州市2008届高中毕业班质量检测（Ⅱ）

已知数列中，，前项和为，对于任意≥时，，，总成等差数列。

⑴求数列的通项公式；

⑵若数列满足，求数列的前项和

解⑴当≥时，，，总成等差数列。

即，两式相减，得

                                                     （4分）

成等比数列

，当时，

成等比数列，                                 

⑵由⑴得，时，成立。，

23. 以数列的任意相邻两项为坐标的点均在一次函数的图象上，数列满足条件：，

⑴求证：数列是等比数列；

⑵设数列、的前项和分别为、，若，，求的值．

证明：⑴由条件得   显然       …1 分

（若，则，那么点P_n在一次函数的图象上，与条件不符）

∵为常数，    ………………5分

∴所以数列是公比为2的等比数列            ………………7分

⑵由⑴得：

，           ………………9分

∴               …………10分

∵，

∴

…14分

∴　　

由得代入得          ………………16分

24. 设数列的各项都是正数, 且对任意都有记为数列的前n项和 

(1) 求证:  (2) 求数列的通项公式 

(3) 若(为非零常数, ), 问是否存在整数, 使得对任意, 都有

证明：(1)在已知式中, 当时, ∵∴  …(1分)

当时, ①

②

由①－②得, ………(3分)

∵∴即∴适合上式,

  ………(5分)

(2)由(1)知, ③

当时, ④

由③－④得,

……(8分)

∵, ∴, 数列是等差数列,首项为1,

公差为1, 可得  ………(10分)

(3) ∵, ∴………(11分)

∴,

∴⑤………(12分)

当时, ⑤式即为⑥

依题意, ⑥式对都成立, 当时,

⑤式即为 ⑦依题意, ⑦式对都成立,

∴………(13分)    ∴又,

∴存在整数, 使得对任意, 都有  ………(13分)

25. 浙江省宁波市2007―2008学年第一学期高三期末考试

  等差数列的前n项和为S_n，且满足数列

是公比为的等比数列，且满足

   （1）求数列，的通项公式；

   （2）记中的最大项。

（1）

……………………4分

n=1时，

∴………………9分

（2）

……………………12分

当n=1时，

当n=2时，的最大值为11……………………14分

26. 上海市嘉定一中2007学年第一学期高三年级测试（二）

   数列中，。

   （1）求数列的通项；

   （2），求S_n。

（1）

   （2）

1⁰ 

2⁰    

由1⁰，2⁰可得 

27. 上海市嘉定一中2007学年第一学期高三年级测试（二）

    已知点顺次为直线上的

点，点顺次为x轴上的点，其中 对于任意自然数n，点A_n，B_n，A_n+1构成以B_n为顶点的等腰三角形。

   （1）求数列{y_n}的通项公式，并证明它为等差数列；

   （2）求证：是常数，并求数列的通项公式；

   （3）上述等腰△中是否可能存在直角三角形，若可能，求出此时a的值；若

不可能，请说明理由。

（1）为定值

   （2）由题意得 

∴成等差数列

成等差数列

（3）当n为奇数时，

当n为偶数时，

作

要使等腰三角形为直角三角形，则

1⁰ n为奇数，

当，无解

2⁰ n为偶数，

综上  时，存在直角三角形

28.

29. 一艘太空飞船飞往地球，第一次观测时，如图1发现一个正三角形的岛屿(边长为)；第二次观测时，如图2发现它每边中央处还有一正三角形海岬，形成了六角的星形；第三次观测时，如图3发现原先每一小边的中央处又有一向外突出的正三角形海岬，把这个过程无限地继续下去，就得到著名的数学模型――柯克岛.

(1)把第1，2，3，，n次观测到的岛的海岸线长记为，试求的值及的表达式；

(2)把第1，2，3，，n,次观测到的岛的面积记为，，求

(1)由题意知， 

因为第一个图形的边长为，从第二个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的，所以第n个图形的边长为；   

第一个图形的边数为3，从第二个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形边数的4倍，所以第n个图形的边数为.

因此  

(2)                                                     

，                                                                                                        

叠加得，

30. 200８年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）

数列满足

(Ⅰ) 设，求证是等比数列；

(Ⅱ) 求数列的通项公式;

（Ⅲ）设,数列的前项和为,求证:

^{解：(Ⅰ)由得}　　　　…………１分

，即　， …………３分

是以２为公比的等比数列　　　　　　…………４分

 (Ⅱ) 又　　　　　　　　　　　…………５分

即 ，　　　　　　　…………７分

　　　　　　　　　　　　　　…………８分

　　　　故　　　　　　　　　…………９分

（Ⅲ）…………１０分

　　　…………１２分

又　　　　…………１４分

31. 已知函数的图象过原点，且关于点（-1,1）成中心对称．

 （Ⅰ）求函数的解析式；

 （Ⅱ）若数列(nÎN*)满足：，求数列的通项公式；

 （Ⅲ）若数列的前n项的和为,判断与2的大小关系，并证明你的结论．

解(Ⅰ) 因为函数 的图象过原点，即，所以c =0，    

即.又函数的图象关于点（-1，1）成中心对称，

所以，    

 (Ⅱ)由题意，开方取正得：， 

即 = +1，所以 － =1.           

∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列．

∴ =1+(n－1)=n，即 = ，∴a_n= ．                 

 (Ⅲ)当n≥2时，a_n= < = － ．     

所以，故2    

32. 广东省梅州揭阳两市四校2008届高三第三次联考数学理科试卷

已知（m为常数，m>0且）

设是首项为4，公差为2的等差数列.

   （Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；

   （Ⅱ）若b_n=a_n?，且数列{b_n}的前n项和S_n，当时，求S_n；

   （Ⅲ）若c_n=，问是否存在m，使得{c_n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.

解：（Ⅰ）由题意    即

∴           

∴      ∵m>0且，∴m²为非零常数，

∴数列{a_n}是以m⁴为首项，m²为公比的等比数列               

（Ⅱ）由题意，

当

∴   ①          

①式两端同乘以2，得

  ②       

②－①并整理，得

   =

（Ⅲ）由题意

要使对一切成立，

即  对一切 成立，

①当m>1时，  成立；                   …………12分

②当0<m<1时，

∴对一切 成立，只需，

解得 ，  考虑到0<m<1，    ∴0<m< 

综上，当0<m<或m>1时，数列{c_n     }中每一项恒小于它后面的项. ----------14分

33. 广东省梅州揭阳两市四校2008届高三第三次联考数学文科试题

已知数列{}中，（），

数列满足:（）

   （1）求证:数列是等差数列；

   （2）求数列中的最大项与最小项，并说明理由.

解：（1），     - --------4分

而，

∴．-------------------------6分

∴{}是首项为，公差为1的等差数列．----------8分

（2）依题意有，而，    ------------10分

∴．                                       

函数，在（3.5，）上为减函数．在（，3.5）上也为减函数．

--------------12分

故当n＝4时，取最大值3，n＝3时，取最小值-1．     ---------14分

34. 江西省临川一中2008届高三模拟试题

在个不同数的排列（即前面某数大于后面某数）则称构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数，例如排列（2，40，3，1）中有逆序“2与1”，“40与3”，“40与1”，“3与1”其逆序数等于4. 已知n+2个不同数的排列的逆序数是2.

   （1）求（1，3，40，2）的逆序数；

   （2）写出的逆序数a_n

   （3）令.

解：（1）                                                           …………4分

   （2）n+2个数中任取两个数比较大小，共有个大小关系

                                                     …………8分

   （3）

              …………14分

35. 山东省潍坊市2008年高三教学质量检测

已知在数列{a_n}中，（t>0且t≠1）．是函数的一个极值点．

   （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

   （2）记，当t=2时，数列的前n项和为S_n，求使S_n>2008的n的最小值；

   （3）当t=2时，是否存在指数函数g（x），使得对于任意的正整数n有成立？若存在，求出满足条件的一个g（x）；若不存在，请说明理由．

（1）．

由题意，即．        …………1分

∴

∵且，∴数列是以为首项，t为公比的等比数列，

                                                                                                         …………2分

以上各式两边分别相加得，∴，

当时，上式也成立，∴                                                  …………5分

   （2）当t=2时，

                                                  …………7分

由，得，

，                                                                            …………8分

当，

因此n的最小值为1005．                                                                  …………10分

   （3）∵

令，则有：

则

                                                                                                         …………13分

即函数满足条件．

36. 山东省潍坊市2008年高三教学质量检测

已知二次函数满足条件：

①0，1是的两个零点；②

   （I）求函数的解析式；

   （II）设数列

      ；

   （III）在（II）的条件下，当的等差中项，试问数列中第几项的值最小？并求出这个最小值。

解：（I）由题意知：                                                     …………2分

解得

故                                                                       …………4分

   （II），

当，                               …………6分

                                                               …………8分

故数列                       …………10分

   （III）若

从而，

得                                                …………11分

即数列                                                                       …………13分

且  …………14分

37. 江苏省如皋中学2007―2008学年度第二学期阶段考试高三数学（理科）

已知正项数列{ a_n }满足S_n+S_n－1＝ta+2 (n≥2，t>0)，a₁＝1，其中S_n是数列{ a_n }的前n项和．

（Ⅰ）求通项a_n；

（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T_n，若T_n＜2对所有的n∈N^*都成立．求证：0＜t≤1．

解：∵a₁＝1     由S₂+S₁＝ta+2，得a₂ ＝ta，∴a₂ ＝0（舍）或a₂＝，

S_n+S_n－1＝ta+2            ①      S_n－1+S_n－2＝ta+2 (n≥3)   ②

①－②得a_n+a_n－1＝t（a －a）（n≥3），（a_n+a_n－1）[1－t（a_n－a_n－1）] ＝0，

由数列{ a_n }为正项数列，∴a_n+a_n－1≠0，故a_n－a_n－1＝（n≥3），

即数列{ a_n }从第二项开始是公差为的等差数列．

∴a_n＝

（2）∵T₁＝1＜2，当n≥2时，T_n＝t++++ …+＝t+ t²(1－) ＝t+ t²

 要使T_n<2,对所有的n∈N^*恒成立，只要T_n＝t+ t² ＜ t+ t²≤2成立，∴0＜t≤1．

38. 在数列中，a₁=1，a_n+1=a_n+c (c为常数，n∈N*)，且a₁，a₂，a₅成公比不等于1的等比数列．

(Ⅰ) 求c的值；

(Ⅱ) 设b_n=，求数列的前n项和S_n ．

   (本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识；考查化归与转化的思想方法：考查推理与运算能力．)

解：(Ⅰ)∵a_n+1=a_n+c,a₁=1,c为常数, ∴a_n=1+(n-1)c. ∴a₂=1+c,a₅=1+4c.

又a₁,a₂,a₅成等比数列,

∴(1+c)²=1+4c,解得c=0或c=2当c=0,a_n+1=a_n不合题意,舍去. ∴c=2.

 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,a_n=2n-1,

∴，∴S_n=b₁+b₂+…+b_n

   =

   = = .

39. 江苏省滨海县08届高三第三次联考数学试卷2008-1-4

   已知分别以和为公差的等差数列和满足，．

（1）若=18，且存在正整数，使得，求证：；

（2）若，且数列，，…，，，，…，的前项和满足，求数列和的通项公式；

（3）在（2）的条件下，令，，，且，问不等式≤ 是否对一切正整数恒成立？请说明理由．

解：（1）依题意，，

        即，

        即；

              等号成立的条件为，即 ，

，等号不成立，原命题成立

   （2）由得：，即：，

        则，得

            ，，

                    则，；

               （3）在（2）的条件下，，，

                   要使≤，即要满足≤0，

                       当时，，数列单调减；单调增，

当正整数时，，，；

当正整数时，，，；

                       当正整数时，，，，

                       则不等式≤对一切的正整数恒成立；

             同理，当时，也有不等式≤对一切的正整数恒成立．

       综上所述，不等式≤对一切的正整数恒成立．

40. 已知数列的前项和和通项满足（是常数且）。

（1）求数列的通项公式；

(2) 当时，试证明；

（3）设函数，，是否存在正整数，使对都成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

解：（1）当时

，

∴，由得

∴数列是首项、公比为的等比数列，

∴--------4分

(2) 由（1）知当时，-----5分

，∴----------------------------6分

即---------------------------------------7分

（3）∵

          ＝

＝-----------------------9分

∵---------------------------10分

        ∴＝

----12分

       由得 -------()

      ∵()对都成立   ∴

      ∵是正整数，∴的值为1,2,3。

      ∴使对都成立的正整数存在，其值为：1，2，3. ---14分

41. 已知点和互不相同的点，，，…，，…，满足，其中分别为等差数列和等比数列，为坐标原点，若是线段的中点.

（1）求的值；

（2）点，，，…，，…能否共线？证明你的结论；

（3）证明：对于给定的公差不零的，都能找到唯一的一个，使得，，，…，，…，都在一个指数函数的图象上.解：（1）是线段的中点    

      又，且不共线，

由平面向量基本定理，知：             

(2) 由       

设的公差为，的公比为，则由于，，，…，，…互不相同，所以，不会同时成立；                        

若，则，

       ，，，…，，…都在直线上；         

若，则为常数列，