2008―2009学年度南昌市高三第一次模拟测试卷
数 学 （理科）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A?B) = P(A)?P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，
那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
其中R表示球的半径
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合
，
集合
，则集合M、P之间的关系是 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，函数
与函数
的图象可能是
( )
3．在数列
中，
，
，则
的值为 ( )
A．2
B．
4．设
是三个互不重合的平面，
是直线，给出下列命题
①若
，则
；
②若
，则
；
③若在
内的射影互相垂直，则
； ④若
则，
其中正确命题的个数为 （ ）
A．0 B. l C．2 D. 3
5．设
，把
的图象按向量
平移后，图象恰好为函数
的图象，则m的值可以为
（ ）
A．
B．
C．
D. 
6．已知等差数列的前n项和为
，且
，则过点
和
的直线的一个方向向量的坐标可以是（ ）
A．(2，4)
B．
C．
D. （-1，-1）
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7．设
的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若
，则展开式中x3的系数为（ ）
A．-150
B．
8．设函数
,则对于任意的实数a和b, a + b＞0是f(a)+f(b)＞0的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．设
，若函数
有大于零的极值点，则
A．a＞-3 B．a＜
D．
10．过点P(4,2)作圆
的两条切线，切点分别为A、B，0为坐标原点，则
的外接圆方程是( )
A．
B．
C．
D．
11．如图，在棱长为4的正方体
中，E、F分别是AD,
，的中点，长为2的线段MN的一个
端点M在线段EF上运动，另一个端点N在
底面
上运动，则线段MN的中
点P的轨迹(曲面)与二面角A―一
所围成的几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．若
且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分。共16分．请把答案填在答题卡上)
13．若抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合，则p的值为________．
14．一对酷爱运动的年轻夫妇，让刚满十个月大的婴儿把“0，0，2，8，北，京”六张卡片排成一行，若婴儿能使得排成的顺序为“2008北京”或“北京
15．设直线
平面
，过平面外一点A作直线，与
，都成
角的直线有____条．
16．不等式组
所表示的平面区域为D，若D的面积为S，则
的最小值为_____________。
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三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)
在锐角
中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量
且
(I) 求角B的大小；
(II)如果
，求的面积
的最大值．
18．(本小题满分12分)
已知数列
，其前n项和满足
(
是大于0的常数)，且
，
(I) 求的值；
(Ⅱ)求数列的通项公式
；
(Ⅲ)设数列
的前n项和为
，试比较
与的大小．
19．(本小题满分12分)
一个正四面体的四个面上分别涂有l，2，3，4 四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为
，记
。
(1)分别求出
取得最大值和最小值时的概率；
(2)求的分布列及数学期望．
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20．(本小题满分12分)
已知斜三棱柱
，
在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知
(I) 求证：
平面
；
(Ⅱ)求
到平面
的距离；
(Ⅲ)求二面角
的大小．
21．(本小题满分12分)
已知函数
，且函数的图象关于原点对称，其图象在
处的切线方程为
(1)求的解析式；
(2)是否存在区间
使得函数
的定义域和值域均为，且其解析式为f(x)的解析式？若存在，求出这样的一个区间[m，n]；若不存在，则说明理由．
22．(本小题满分14分)
设双曲线
的左、右顶点分别为
，垂直于
轴的直线
与双曲线
交于不同的两点P、Q。
(1)若直线m与x轴正半轴的交点为T，且
，求点T的坐标；
(2)求直线
与
的交点M的轨迹E的方程；
(3)过点
作直线与(2)中的轨迹E交于不同的两点A、B，设
若
，求
(T为(1)中的点)的取值范围．
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2008―2009学年度南昌市高三第一次模拟测试卷
一．选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
A
B
D
B
B
C
B
A
C
D
二．填空题
13． 4 ；
14．
； 15． 2 ； 16．32 ；
三．解答题．
17．解：（1）
……………………………2分
……………………………4分
…………………………………………6分
（2）
由余弦定理得：
（当且仅当
时等号成立）………………9分
…………………………………………………11分
的面积最大值为
…………………………………………………………12分
18．解：（Ⅰ）由
得
…………………2分
∴
……………………………………4分
（Ⅱ）由
整理得
∴数列
是以
为首项，以2为公比的等比数列， …………………6分
∴
∴
∵当
时
满足
………………………………………8分
（Ⅲ）
则
………………………………………………………………10分
∴
∴当时，
，当
时，
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即当或2时，
。当
时，
……2分
19．解：（Ⅰ）掷出点数x可能是：1，2，3，4.
则
分别得：
。于是
的所有取值分别为：0，1，4 .
因此
的所有取值为：0，1，2，4，5，8. …………………………………………2分
当
且
时，
可取得最大值8，
此时，
； ………………………………………………………4分
当
时且
时，可取得最小值 0.
此时
…………………………………………………………6分
（Ⅱ）由（1）知的所有取值为：0，1，2，4，5，8.
……………………………………………………………7分
当
时,
的所有取值为(2，3)、(4，3)、(3，2),(3，4)即
；
当
时,的所有取值为(2，2)、(4，4)、(4，2),(2，4)即
…8分
当
时,的所有取值为(1，3)、(3，1)即
；
当
时,的所有取值为(1，2)、(2，1)、(1，4),(4，1)即
…9分
所以的分布列为：
0
1
2
4
5
8
…
…………10分
即的期望
………………12分
20．解：（Ⅰ）因为
平面
，
所以平面
平面，………………1分
又
，所以
平面
，
得
，又
………2分
所以
平面
； ………………………3分
（Ⅱ）因为
，所以四边形为菱形，
故
，
又D为AC中点，知
……………4分
取
中点F，则
平面
，从而平面
平面………………6分
过
作
于
，则
面
，
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在
中，
，故
……………………………7分
即
到平面的距离为
…………………………………………8分
（Ⅲ）过作
于
，连
，则
从而
为二面角
的平面角， ……………………………………9分
在
中
，所以
在
中，
………………………………………11分
故二面角的大小为
………………………………………12分
解法2：（Ⅰ）如图，取AB的中点E，则DE//BC，因为
所以
又平面
…………………1分
以
为
轴建立空间坐标系，
则
……………………2分
由
知
又从而平面
……………3分
（Ⅱ）由
，得 
………4分
设平面的法向量为
所以
设
则
……………………………7分
所以点
到平面的距离
………………………………8分
（Ⅲ）再设平面的法向量为
所以
…………………………………9分
故
，根据法向量的方向， ………………………11分
可知二面角的大小为
………………………………………12分
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21．解：（1）∵
的图象关于原点对称，∴
恒成立，即
∴
又的图象在
处的切线方程为
即
…2分
∴
，且
而
∴
…………………3分
∴
解得
故所求的解析式为
……6分
（2）解
得
或
又
，由
得
且当
或
时，
………………………………………………………………………………8分
当
时
∴在
和
递增;在
上递减。…9分
∴在
上的极大值和极小值分别为
而
故存在这样的区间
其中一个区间为…12分
22. 解：（1）由题意得
设
则
由
即
① …………………………………2分
又
在双曲线上，则
②
联立①、②，解得：
由题意，
∴
∴点T的坐标为（2，0）. ………………………………4分
（2）设直线
与
的交点M的坐标为
由
、P、M三点共线，得：
①
由
、
、
三点共线，得：
②
联①、②立，解得：
……………………………………………6分
∵在双曲线上，∴
∴轨迹E的方程为
………………………………………8分
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（3）容易验证直线
的斜率不为0.
故要设直线的方程为
代入
中得：
设
且
,则由根与系数的关系，
得：
，① 
② ………………………………10分
∵
，∴有
且
。将①式平方除以②式，得：
由
……………………………………………………………12分
∵
∴
又
∴
故
令
∵
∴
即
∴
而 ∴
∴ 
…………………14分
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