17. 某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）

项 目

类 别

年固定

成本

每件产品

成本

每件产品

销售价

每年最多可

生产的件数

A产品

20

m

10

200

B产品

40

8

18

120

其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计．另外，年销售件B产品时需上交万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．

  （Ⅰ）写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润与生产相应产品的件数之间的函数关系并指明其定义域；

（Ⅱ）如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．

18. 中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的焦距为2，两准线问的距离为10．设A(5,0)，

  B(1，0)

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点A作直线与椭圆C只有一个公共点D，求过B，D两点，且以AD为切线的圆

    的方程；

(3)过点A作直线l交椭圆C于P，Q两点，过点P作x轴的垂线交椭圆C于另一点S．

    若=t（t＞1），求证：=t

19. 已知函数，（为常数）．函数定义为：对每个给定的实数，

（1）求对所有实数成立的充分必要条件（用表示）；

（2）设是两个实数，满足，且．若，求证：函数在区间上的单调增区间的长度之和为（闭区间的长度定义为）

20. 已知数列中，且点在直线上。

 (1)求数列的通项公式;

(2)若函数求函数的最小值；

 (3)设表示数列的前项和。试问：是否存在关于的整式，使得

对于一切不小于2的自然数恒成立？ 若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。

试题答案

1.3+i    2、  3.  （1,0）   4.    5. 0  6.   7. 168  8.  5049  

9.    10.    11. 0或-2   12.    13. .   14. 2  

15. 解：（1）由已知条件得：          

 所以，                                      

又 ，所以                         

（2）∵，由正弦定理，得，且

所以有，                  

整理得：，从而有：

．                           

16. 证明:因为∠ABC=90°，AD∥BC，所以AD⊥AB.

而平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB平面ABCD=AB,

所以AD⊥平面PAB,  所以AD⊥PA.                      

同理可得AB⊥PA.                     

由于AB、AD平面ABCD，且ABAD=C,

所以PA⊥平面ABCD.                                         

（2）解:（方法一）不平行.                        

证明：假定直线l∥平面ABCD,

由于l平面PCD，且平面PCD平面ABCD=CD,  所以∥CD. 

同理可得l∥AB, 所以AB∥CD.                               

这与AB和CD是直角梯形ABCD的两腰相矛盾,

故假设错误，所以直线l与平面ABCD不平行.                 

（方法二）因为梯形ABCD中AD∥BC,

所以直线AB与直线CD相交，设ABCD=T.                   

由TCD，CD平面PCD得T平面PCD.

同理T平面PAB.                                        

即T为平面PCD与平面PAB的公共点，于是PT为平面PCD与平面PAB的交线.

所以直线与平面ABCD不平行.                                

17. 解：（Ⅰ）由年销售量为件，按利润的计算公式，有生产A、B两产品的年利润分别为：

       且

（Ⅱ），，，为增函数，

时，生产A产品有最大利润为（万美元）

又时，生产B产品

有最大利润为460（万美元）                            

     现在我们研究生产哪种产品年利润最大，为此，我们作差比较：

    所以：当时，投资生产A产品200件可获得最大年利润；

          当时，生产A产品与生产B产品均可获得最大年利润；

          当时，投资生产B产品100件可获得最大年利润

18. 解：（1）设椭圆的标准方程为

依题意得：，得   ∴  所以，椭圆的标准方程为．

（2）设过点的直线方程为：，代入椭圆方程得;

  (*)

依题意得：，即 

得：，且方程的根为  

当点位于轴上方时，过点与垂直的直线与轴交于点，

直线的方程是：，  

所求圆即为以线段DE为直径的圆，故方程为：

同理可得：当点位于轴下方时，圆的方程为：．

（3）设，由=得：，代入

（**）    要证=，即证

由方程组（**）可知方程组（1）成立,(2)显然成立．∴=

19. 解：（1）由的定义可知，（对所有实数）等价于

（对所有实数）这又等价于，即

对所有实数均成立.        （*）

  由于的最大值为，

  故（*）等价于，即，这就是所求的充分必要条件

（2）分两种情形讨论

     （i）当时，由（1）知（对所有实数）

则由及易知，

再由的单调性可知，

函数在区间上的单调增区间的长度

为（参见示意图1）

（ii）时，不妨设，则，于是

   当时，有，从而；

当时，有

从而  ；

当时，，及，由方程

      解得图象交点的横坐标为

                          ⑴

显然，

这表明在与之间。由⑴易知

综上可知，在区间上，   （参见示意图2）

故由函数及的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为，由于，即，得

          ⑵

故由⑴、⑵得 

20. 解：（1）由点P在直线上，

即，

且，数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列

   ，同样满足，所以

  （2）

     所以是单调递增，故的最小值是

（3），可得，

     ，

……

，n≥2

故存在关于n的整式g（x）=n,使得对于一切不小于2的自然数n恒成立.