1．已知集合A = {(x，y)|y =x²，x∈R}，B = {(x，y)|y =x，x∈R }，则A∩B中的元素个数为（   ）

A．0个                       B．1个                       C．2个                       D．无穷多个

2．已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列，则q = (   )

    A.               B.               C.2                 D.1

3．点（tan2009°，cos2009°）位于（    ）

A．第一象限               B．第二象限               C．第三象限               D．第四象限

4．已知数列{a_n}的通项公式a_n =(n∈N^*)，设数列{a_n}的前n项和为S_n，则使S_n＜?5成立的自然数n（   ）

A．有最大值63           B．有最小值63           C．有最大值31           D．有最小值31

5．若对于任意的实数x，有x³ = a₀ + a₁(x ? 2) + a₂ (x ? 2)² + a₃ (x ? 2)³，则a₂的值为（   ）

A．3                           B．6                            C．9                            D．12

6．球面上有三点A、B、C，任意两点之间的球面距离等于球大圆周长的四分之一，且过这三点的截面圆的面积为4,则此球的体积为（   ）

A．                  B．                C．                D．

7．已知F₁、F₂为椭圆E的左、右焦点，抛物线C以F₁为顶点，F₂为焦点，设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆的离心率为e，且|PF₁| = e|PF₂|，则e的值为（   ）

A．                       B．                   C．                       D．

8．设函数f(x) =，[x]表示不超过实数x的最大整数，则函数[f(x) +] +[f(?x) +]的值域是（     ）

A．{3}                        B．{3，4}                   C．{2，3}                   D．{4}

9．已知a为实数数，则的值为       ．

10．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB =2，AC =3，则sinC的值是_____．

11．若不等式对于任意的恒成立，则实数a的取值范围为___________

12．将三种农作物种植在如图所示的5块试验田里，每一块种植一种农作物，同一种农作物种在相邻的试验田中，不同的种植方法有     ．

13．把正奇数数列1，3，5，7…中的数按上小下大，左小右大的原则排成如下三角形数表

请判断2009是该三角形数表中第     行的第     个数．

14．给出平面阴影区域（包括边界）如图所示

（Ⅰ）要使目标函数z = ax + y取得最大值的最优解

有无穷多个，则a的取值为_____．

（Ⅱ）要使目标函数z = ax + y取得最大值的最优解

有且仅有一个点A(3，2)，则a的取值范围 ______．

15．一种计算装置，有一个数据入口A和一个运算出口B，执行某种运算程序。当从A口输入自然数1时，从B口得到实数，记为；当从A口输入自然数时，在B口得到的结果是前一结果的倍。则（i）当从A口输入3时，从B口得到_______;(ii)要想从B口得到，则应从A口输入自然数       ．

16．（12分）已知向量，，f(x) =．

（Ⅰ）求函数y = f(x)的单调区间；

（Ⅱ）已知g (x) = 2sin2x + 1，将函数y = g (x)的图象按向量平移后得到函数y = f(x)的图象，求||的最小值．

17．（12分）某单位小会议室里的3只白炽灯泡已坏，电工李师傅前往会议室更换。若所带灯泡包装盒中共有6只灯泡（外观形状完全一样），其中4只好的，2只坏的。李师傅每次随机从包装盒中任取一只（每只被取的概率相同），若取出的灯泡是好的，则将其更换小会议室已坏的灯泡，若取出的灯泡是坏的，则不再放回包装盒，也不能用它更换小会议室已坏的灯泡．

（Ⅰ）求李师傅第二次所取的灯泡是好的的概率；

（Ⅱ）设李师傅全部更换了小会议室的3只已坏灯泡时，从包装盒中所取灯泡次数为，求的分布列和期望．

18．（12分）在如图所示的多面体中，底面△ABC是边长为2的正三角形，DA和EC均垂直于平面ABC，且DA = 2，EC = 1．

（Ⅰ）求点A到平面BDE的距离；

（Ⅱ）求二面角B?ED?A的正切值．

19．（13分）长沙市年嘉湖隧道的开通，既缓解了车站北路与营盘东路之间的交通压力，也缩短了交通时间，但为了交通安全，市交通部门对隧道内行驶的车辆作如下规定：①最高时速不超过60公里/小时；②行使车辆之间的车距d是车速v（公里/小时）的平方与车身长s（米）的积成正比，比例系数为k(k>0);③按②的要求行驶，若车距小于车身长的一半时,则规定车距为。

现假定车辆的车身长约为s米，当车速为50km/小时时，车距恰好为该车的车身长。

（Ⅰ）试写出d关于v的函数关系式（其中s为常数）；

（Ⅱ）问应按怎样的车速，才能使车流量Q =最大．

20．（13分）已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率为，点Q在椭圆C上且满足条件：= 2，? 2．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设A、B为椭圆上不同的两点，且满足OA⊥OB，若(∈R)且，试问：是否为定值．若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由。

21．（13分）已知函数f (x) = lnx，g (x) =(a＞0)，设F(x) = f (x) + g (x)．

（1）求函数F(x)的单调区间；

（2）若点为函数的图象上任意一点，当时，点P处的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；

（3）是否存在实数m，使得函数y = g() + m ? 1的图象与函数y = f (1 + x²)的图象恰有四个不同的交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

A

D

B

B

D

`A

B

9.-i     10.    11.     12.  36     13.  45  15  

14.      15.

16．（12分）【解析】

（Ⅰ）f(x) ==……4分

解不等式(k∈Z)得x∈(k∈Z)

解不等式(k∈Z)得x∈(k∈Z)……6分

所以函数y = f(x)的单调增区间是(k∈Z)，

单调减区间是(k∈Z)．……7分）

（Ⅱ）函数y = g(x)按向量= (h，k)平移后，

得到函数y = 2sin2(x ? h) + 1 + k = 2sin(2x +)……9分

∴  ……11分

当n = 0时，．  ……12分

17．（12分）【解析】（Ⅰ）李师傅第一次所取灯泡是好的，第二次所取灯泡也是好的的概率P₁ =；李师傅第一次所取灯泡是坏的，第二次所取的灯泡是好的的概率P₂=；所以李师傅第二次所取的灯泡是好的的概率为P₁ + P₂ =．  ……4分

（Ⅱ）= 3，4，5．                                             ……5分P，P，P．（只考察坏灯泡的组合情况）9分

3

4

5

P

所以的分布列为

……10分

期望E=．……12分

18．（12分）【解析】（Ⅰ）∵DE = BE =，BD =，

∴S_△BDE =，设点A到平面BDE的距离为h．

又∵S_△ABC =，V_D?ABC = V_A?BDE

∴    ∴h =

即点A到平面BDE的距离为． ……6分

（Ⅱ）∵DA⊥平面ABC，∴平面DACE⊥平面ABC

取AC的中点M，连结BM，则BM⊥AC，BM⊥平面DACE．

过M作MN⊥DE，交DE于N，连结BN，则BN⊥DE，

∴∠BNM是所求二面角的平面角．

设AC、DE的延长线相交于点P，∵DA = 2EC，∴CP = 2

由△MNP∽△DAP得，MP = 3，DA = 2

DP =，∴MN =

又∵BM =，∴tan∠BNM =．  ……12分

应用空间向量求解参照计分

19．（13分）【解析】（Ⅰ）依题意可得d = kv²s．

当v = 50时，d = s，解得k =，∴d =v²s．  ……3分

当d =时，解得v = 25．                      ……4分

所以d关于v的函数关系式是：d =…… 6分

（Ⅱ）

当0＜v≤25，取v =25时，Q的最大值为；   ……8分

当25＜v≤60时，Q =．

当且仅当v = 50时取等号．                      ……11分

又∵                           ……12分

∴按50km/小时的速度行驶，车流量大．           ……13分

20．（13分）【解析】（Ⅰ）设椭圆方程为，∵e =，∴a = 2c

∴，．

又?2      ∴cos∠F₁QF₂ =．

由|F₁F₂|² = |QF₁|² + |QF₂|² ? 2|QF|?|QF₂|cos∠F₁QF₂得a = 2，c = 1，b² = 3

∴椭圆C的方程为．          ……5分

（Ⅱ）依题意可知，点M为由点O向直线AB所作的垂线的垂足．

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)

（1）当x₁ = x₂时，直线OA、OB的斜率分别为±1，解方程组得x =±．

∴．                       ……6分

（2）当x₁≠x₂时，设AB的直线方程为：y = kx + m，代入得

(3 + 4k²)x² + 8mkx + 4m² ? 12 = 0

x₁ + x₂ =，x₁?x₂ =          ……8分

∵，∴=

∴7m² = 12 (k² + 1)     ∴      ……11分

又∵．

综上所述．                 ……13分

21．（13分）【解析】（1）F(x) = f (x) + g (x) = lnx +(x＞0)，F′(x) =．

∵a＞0，由F′(x)＞0x∈(a，+∞)，∴F(x)在[a，+∞)上单调递增．

由F′(x)＜.0x∈(0，a)，∴F(x)在(0，a]上单调递减．

∴F(x)的单调递减区间为(0，a]，单调递增区间为[a，+∞)．   ……3分

（2）F′(x) =，k = F′(x₀) =≤(0＜x₀≤3)

恒成立，

当x₀ = 1时，取得最大值．

∴a≥，∴a_min =．                                   ……6分

（3）若y = g+ m ? 1 =x² + m ?的图象与y = f (1 + x²) = ln(x² +1)的图象恰有四个不同的交点，即有四个不同的根，亦即m = ln(x² + 1) ?x² +有四个不同的根．

令G(x) = ln(x² + 1) ?，则G′(x) =? x =

当x变化时，G′(x)、G (x)的变化情况如下表：

x

(?∞，?1)

(?1，0)

(0，1)

(1，+∞)

G′(x)的符号

+

?

+

?

G (x)的单调性

增

减

增

减

……10分

由表格知：G (x)_极小值 = G (0) =，G (x)_极大值 = G (1) = G (?1) = ln2＞0，       ……11分

画出草图和验证G(2) = G(?2) = ln5 ? 2 +＜可知，当m∈(，ln2)时，y = G (x)与y = m恰有四个不同的交点．

∴当m∈(，ln2)时，y =+ m ? 1的图象与y = f (1 + x²)的图象恰有四个不同的交点．                                                                  ……13分

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