2009年韶关市高三第二次模拟测试数学试题(文科)
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分。考试用时120分钟
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填在答题卡上。用2B铅笔将答题卡上试卷类型（A）涂黑。在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号，在“座位号”内填写座位号，并用2B铅笔将相应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如果需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交。
参考公式：锥体体积 
表示底面积，
表示锥体的高
如果事件
、
互斥，那么
两个分类变量
与
的独立性假设检验中
，
其中
时，有
的把握认为“
与有关系”
时，有
的把握认为“与有关系”
时，有
的把握认为“与有关系”
时，没有充分的证据显示“与有关系”
第一部分 选择题 (共50分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 复数
（
是虚数单位）=
A．
B．
C．
D．
2．若集合
，则
A．
B．
C．
D．
3．函
在定义域上是
A．偶函数 B.奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数
4．已知等差数列
中，
，记
，则S13=
A．78 B．
5. 一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等
腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个
几何体的全面积为
A．
B．2
C.
D．
6. 已知
，则
的最大值是
A、3
B、
C、0 D、
7.
的三个内角A、B、C成等差数列，
，则一定是
A．直角三角形 B．等边三角形 C
锐角三角形 D．钝角三角形
8．北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度
15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的
仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为
米
（如图所示），则旗杆的高度为
A．
米 B．
米 C．
米 D．
米
9．下列说法正确的是 ( )．
A． “
”是“
”的充分不必要条件
B．“
”是“
”的必要不充分条件．
C．命题“
使得
”的否定是：“
均有”．
D．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题．
10．已知函数
，正实数
、
、
满足
，若实数
是函数
的一个零点，那么下列四个判断：①
；②
；③
；④
．其中可能成立的个数为
A．1
B．
第二部分 非选择题(共100分)
二.填空题（每小题5分, 共20分.）
11. 中心在坐标原点，一个焦点为（5，0），且以直线
为渐近线的双曲线方程为__________________________.
12 如图，是一程序框图，则输出结果为 
,
.
(说明，
是赋值语句，也可以写成
，或
)
13. 以下四个命题：
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样
②在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好
③在回归直线方程
中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量
增加0.1个单位
④在一个2×2列联表中，由计算得k2=13.079,则其两个变量间有关系的可能性是90%以上.其中正确的序号是__________.
选做题：在下面两道小题中选做一题，两题都选只计算前一题的得分.
14. （参数方程与极坐标）已知
是曲线
的焦点，点
，则
的值是
15. （几何证明选讲） 如图，
是圆
外的一点，
为切线，
为切点，割线
经过圆心，
,则
__________.
三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.(本题满分12分)
如图，设
是单位圆和
轴正半轴的交点，
是单位圆上的两点，是坐标原点，
，
．
（Ⅰ）若
，求
的值；
（Ⅱ）设函数
，求
的值域．
17.(本题满分12分)
某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示
（Ⅰ）求甲、乙两名运动员得分的中位数；
（Ⅱ）你认为哪位运动员的成绩更稳定？
（Ⅲ）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．（参考数据：
，
）
18.(本题满分14分)
如图，在等腰梯形
中，
为
边上一点，且
将
沿
折起，使平面
⊥平面
．
(Ⅰ)求证：
⊥平面；
(Ⅱ)若
是侧棱中点，截面
把几何体分成的两部分,求这两部分的体积之比.
19. (本题满分14分)
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，打算本年度投入800万元，以后每年投入将比上年平均减少
，本年度旅游收入为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加
.
（Ⅰ）设第
年（本年度为第一年）的投入为
万元，旅游业收入为
万元，写出，的表达式；
（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入超过总投入？
20．(本题满分14分)
如图，已知圆C：
与轴交于A1、 A2两点，椭圆E以线段A
．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆E的左焦点为F，点P为圆C上异于A1、A2的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线
于点Q，判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明．
21. (本题满分14分)
如图，在直角坐标系中，正方形的四个顶点分别为
.
(Ⅰ)已知函数
(其中
),过
图象是任意一点
的切线
将正方形截成两部分,设点的横坐标为
,
表示正方形被切线所截的左下部分的面积,求的解析式；
(Ⅱ) 试问在定义域上是否存在最大值和最小值？若存在，求出的最大值和最小值；若不存在，请说明理由.
2009年韶关市高三第二次模拟测试数学试题(文科)答案及评分标准
二、填空题
11. 
， 12.
（2分，3分） ， 13.②3④ ，
14.
， 15.
三、解答题
16.(本题满分12分)
如图，设是单位圆和轴正半轴的交点，是单位圆上的两点，是坐标原点，，．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）设函数，求的值域．
解：（Ⅰ）由已知可得
………………………………2分
………………………………3分
………………………………4分
（Ⅱ） 
……………………6分
………………………………7分
………………………………8分
………………………………9分
………………………………11分
的值域是
………………………………12分
注：若结果写成闭区间或开区间扣1分
17. (本题满分12分)
某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示
（Ⅰ）求甲、乙两名运动员得分的中位数；
（Ⅱ）你认为哪位运动员的成绩更稳定？
（Ⅲ）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．（参考数据：，）
解：（Ⅰ）运动员甲得分的中位数是22，运动员乙得分的中位数是23…………………2分
（Ⅱ）
…………………3分
…………………4分
…………………………………………………………………………………5分 
……………………………………………………………………………………………6分
，从而甲运动员的成绩更稳定………………………………7分
（Ⅲ）从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为49……………8分
其中甲的得分大于乙的是：甲得14分有3场，甲得17分有3场，甲得15分有3场
甲得24分有4场，甲得22分有3场，甲得23分有3场，甲得32分有7场，共计26场 ……………10分
从而甲的得分大于乙的得分的概率为
………………………………12分
18. (本题满分14分)
如图，在等腰梯形中， 为边上一点，且将沿折起，使平面⊥平面．
(Ⅰ)求证：⊥平面；
(Ⅱ)若是侧棱中点，求截面把几何体分成的两部分的体积之比.
:(Ⅰ)证明：依题意知
，
又∥
……………………3分
又∵平面⊥平面，平面
平面
，由面面垂直的性质定理知， 
平面……………………………………. ………………………………6分
(Ⅱ) 解：设
是的中点，连结
,依题意，
,
,所以，
面,因为∥
，所以
面.………………………………8分
………………………………10分
…………11分
所以，
……………12分
两部分体积比为
………………………………14分
19.(本题满分12分)
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，打算本年度投入800万元，以后每年投入将比上年平均减少，本年度旅游收入为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加.
（Ⅰ）设第年（本年度为第一年）的投入为万元，旅游业收入为万元，写出，的表达式；
（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入超过总投入？
（Ⅰ）解，依题意每年投入构成首项为800万元，公比为
的等比数列，每年旅游业收入组织首项为400万元，公比为
的等比数列。………………………………2分
所以，
………………………………4分
（Ⅱ）解，经过年，总收投入
………5分
经过年，总收入
……………6分
设经过年，总收入超过总投入，由此，
,
化简得 
………………………………8分
设
代入上式整理得，
解得，
或
（舍去）………………………………10分
由
，
时，
，
，＝
………12分
因为 
在定义域上是减函数，所以 
……………………13分
答：至少经过5年旅游业的总收入超过总投入。………………………………14分
20.(本题满分14分)
如图，已知圆C：与轴交于A1、 A2两点，椭圆E以线段A．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆E的左焦点为F，点P为圆C上异于A1、A2的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线于点Q，判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明．
18. 解：（Ⅰ）因为
,所以c=1……………2分
则b=1,即椭圆E的标准方程为
……………………4分
（Ⅱ）当点在圆C上运动时,直线
与圆C保持相切……6分
证明:设
（
）,则
,所以
,
,
所以直线OQ的方程为
……………9分
所以点Q（－2,
） ………………11分
所以
,………………13分
又
,所以
,即
,故直线始终与圆C相切……14分
21.(本题满分14分)
如图，在直角坐标系中，正方形的四个顶点分别为.
(Ⅰ)已知函数,(其中),过图象是任意一点的切线将正方形截成两部分,设点的横坐标为,表示正方形被切线所截的左下部分的面积,求的解析式；
(Ⅱ) 试问在定义域上是否存在最大值和最小值？若存在，求出的最大值和最小值；若不存在，请说明理由.
解：设
（其中
），图象上的两端点为
又
过点的切线的方程为：
…………2分
（?）当切点为
时，
，切线为：
，
切线与的交点坐标为
.当切线过点
时，
……………4分
故当
时，切线与相交，此时正方形被切线所截的左下部分是直角梯形，=
…………6分
（?）当切线过点
时，
，
当
时，切线与
都相交，正方形被切线所截的左下部分是直角三角形，=
……7分
（?）当切点为
时，切线为：
，切线与
的交点坐标为
故当
时，切线与
都相交，正方形被切线所截的左下部分是直角梯形，=
………9分
综上所述：
…………………10分
(Ⅲ)解：当
，
故在
上递增，最大无限接近
，无最大值和最小值……………………………11分
当
时，
在
上递减，最大无限接近，无最大值和最小值……………………………12分
故当
，
成立………………13分
综上所述：在定义域上存在最大值，不存在最小值.…………14分.
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