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    ∴证明的结论成立.即: 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知数列的前项和为，且 (N*),其中．

    (Ⅰ) 求的通项公式；

    (Ⅱ) 设 (N*).

    ①证明： ；

    ② 求证：.

    【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用关系式，表示通项公式，然后得到第一问，第二问中利用放缩法得到，②由于，

    所以利用放缩法，从此得到结论。

    解：(Ⅰ)当时，由得.  ……2分

    若存在由得，

    从而有，与矛盾，所以.

    从而由得得.  ……6分

     (Ⅱ)①证明：

    证法一：∵∴

    ∴ 

    ∴.…………10分

    证法二：，下同证法一.           ……10分

    证法三：（利用对偶式）设，，

    则.又，也即，所以，也即，又因为，所以.即

                        ………10分

    证法四：（数学归纳法）①当时, ,命题成立;

       ②假设时,命题成立,即,

       则当时,

        即

    即

    故当时，命题成立.

    综上可知，对一切非零自然数，不等式②成立.           ………………10分

    ②由于，

    所以，

    从而.

    也即

     

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    已知Sn是数列{an}的前n项和，数学公式（n≥2，n∈N*），且数学公式．
    （1）求a2的值，并写出an和an+1的关系式；
    （2）求数列{an}的通项公式及Sn的表达式；
    （3）我们可以证明：若数列{bn}有上界（即存在常数A，使得bn＜A对一切n∈N*恒成立）且单调递增；或数列{bn}有下界（即存在常数B，使得bn＞B对一切n∈N*恒成立）且单调递减，则数学公式存在．直接利用上述结论，证明：数学公式存在．

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    已知Sn是数列{an}的前n项和，(，)，且．

    (1)求a2的值，并写出an和an+1的关系式；

    (2)求数列{an}的通项公式及Sn的表达式；

    (3)我们可以证明：若数列{bn}有上界(即存在常数A，使得bn＜A对一切n∈N*恒成立)且单调递增；或数列{bn}有下界(即存在常数B，使得bn＞B对一切n∈N*恒成立)且单调递减，则存在．直接利用上述结论，证明：存在．

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    证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不直接证明的方法通常称为________．如反证法，反证法的证明过程概括为：“________”“________”“________”“________”，

    即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．

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    （2012•虹口区一模）已知Sn是数列{an}的前n项和，2Sn=Sn-1-(
    1
    2
    )n-1+2    （n≥2，n∈N*），且a1=
    1
    2
    ．
    （1）求a2的值，并写出an和an+1的关系式；
    （2）求数列{an}的通项公式及Sn的表达式；
    （3）我们可以证明：若数列{bn}有上界（即存在常数A，使得bn＜A对一切n∈N*恒成立）且单调递增；或数列{bn}有下界（即存在常数B，使得bn＞B对一切n∈N*恒成立）且单调递减，则
    lim
    n→∞
    bn    存在．直接利用上述结论，证明：
    lim
    n→∞
    Sn    存在．

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