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A．选修4-1：几何证明选讲
如图，圆O₁与圆O₂内切于点A，其半径分别为r₁与r₂（r₁＞r₂ ）．圆O₁的弦AB交圆O₂于点C （ O₁不在AB上）．求证：AB：AC为定值．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=

1 1 2 1

，向量β=

1 2

．求向量

α

，使得A²

α

=

β

．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆

x=5cosφ y=3sinφ

（φ为参数）的右焦点，且与直线

x=4-2t y=3-t

（t为参数）平行的直线的普通方程．
D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
解不等式：x+|2x-1|＜3．

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1－10：DCDAABCBCDC

11., 12. 85, 13. 5 ,14. 6 ,15. -3 .

1．函数的定义域是，解得x≥1，选D.

2．向量若时，∥，∴ ；时，，，选C.

3．的展开式中的系数=x³， 则实数的值是2，选D

4．过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则截面圆的半径是R=1，该截面的面积是π，选A.

5．若“”，则函数=在区间上为增函数；而若在区间上为增函数，则0≤a≤1，所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，选A.

6．在数字1，2，3与符号“＋”，“－”五个元素的所有全排列中，先排列1，2，3，有种排法，再将“＋”，“－”两个符号插入，有种方法，共有12种方法，选B.

7．圆的圆心为(2，2)，半径为3，圆心到到直线的距离为>3，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =6，选C.

8．设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，∴ 最小正周期为π，选B.

9．过双曲线的左顶点(1，0)作斜率为1的直线：y=x－1, 若与双曲线的两条渐近线分别相交于点,  联立方程组代入消元得，∴ ，x₁+x₂=2x₁x₂，又,则B为AC中点，2x₁=1+x₂，代入解得，∴ b₂=9，双曲线的离心率e=，选D.

10．如图，OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，

由图知，x<0，当x=－时，即=－，P点在线段DE上，=，=，而<<，∴ 选C.

二．填空题：

11.； 12. 85；  13. 5 ；  14. 6 ；  15. －3 .

11．数列满足：，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴ .

12．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是分.

13．已知，如图画出可行域，得交点A(1，2)，B(3，4)，则的最小值是5.

14．过三棱柱 ABC－A₁B₁C₁ 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB₁A₁平行的直线共有6条。

15．是偶函数，取a=－3，可得为偶函数。

16. 解　由已知条件得.

即.

解得.

由0＜θ＜π知，从而.

17. 解　（Ⅰ）每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是.

（Ⅱ）解法一　某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是，从而煤矿不被关闭的概率是0.90.

解法二　某煤矿不被关闭包括两种情况：（i）该煤矿第一次安检合格；（ii）该煤矿第一次安检不合格，但整改后合格.

所以该煤矿不被关闭的概率是.

(Ⅲ)由题设（Ⅱ）可知，每家煤矿不被关闭的概率是0.9，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以到少关闭一家煤矿的概率是.

18. 解法一　（Ⅰ）连结AC、BD，设.

由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.

从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.

（Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.

由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD. 故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，2），A（，0，0），Q（0，0，－2），B（0，，0）.

所以

于是.

从而异面直线AQ与PB所成的角是.

(Ⅲ)由（Ⅱ），点D的坐标是（0，－，0），，             

，设是平面QAD的一个法向量，由

得.

取x=1，得.

所以点P到平面QAD的距离.

解法二　（Ⅰ）取AD的中点，连结PM，QM.

因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，

所以AD⊥PM，AD⊥QM. 从而AD⊥平面PQM.

又平面PQM，所以PQ⊥AD.

同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.

（Ⅱ）连结AC、BD设，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面.

因为OA＝OC，OP＝OQ，所以PAQC为平行四边形，AQ∥PC.

从而∠BPC（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角.

因为，

所以.

从而异面直线AQ与PB所成的角是.

(Ⅲ)连结OM，则.

所以∠PMQ＝90°，即PM⊥MQ.

由（Ⅰ）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD. 从而PM的长是点P到平面QAD的距离.

在直角△PMO中，.

即点P到平面QAD的距离是.

19. 解　（Ⅰ）由题设知.

令.

当（i）a>0时，

若，则，所以在区间上是增函数；

若，则，所以在区间上是减函数；

若，则，所以在区间上是增函数；

（i i）当a＜0时，

若，则，所以在区间上是减函数；

若，则，所以在区间上是减函数；

若，则，所以在区间上是增函数；

若，则，所以在区间上是减函数.

（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，.

因为线段AB与x轴有公共点，所以.

即.所以.

故.

解得　－1≤a＜0或3≤a≤4.

即所求实数a的取值范围是[-1，0)∪[3，4].

20. 解　（Ⅰ）由已知得，

　　.

    （Ⅱ）因为，

　　　　　所以.

          又因为，

　　　　　所以

　　　　　　　　　　　　　 =.

          综上，.

21. 解　（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为

    x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）.

    因为点A在抛物线上，所以，即.

    此时C₂的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.

   （Ⅱ）解法一　当C₂的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为.

由消去y得.           ……①

设A、B的坐标分别为（x₁,y₁）, （x₂,y₂）,

则x₁,x₂是方程①的两根，x₁＋x₂＝.

因为AB既是过C₁的右焦点的弦，又是过C₂的焦点的弦，

所以，且

.

从而.

所以，即.

解得.

因为C₂的焦点在直线上，所以.

即.

当时，直线AB的方程为；

当时，直线AB的方程为.

解法二　当C₂的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程

为.

由消去y得.          　　　　　　　 ……①

因为C₂的焦点在直线上，

所以，即.代入①有.

即.                                     ……②

设A、B的坐标分别为（x₁,y₁）, （x₂,y₂）,

则x₁,x₂是方程②的两根，x₁＋x₂＝.

由消去y得.           　　……③

由于x₁,x₂也是方程③的两根，所以x₁＋x₂＝.

从而＝. 解得.

因为C₂的焦点在直线上，所以.

即.

当时，直线AB的方程为；

当时，直线AB的方程为.

 解法三　设A、B的坐标分别为（x₁,y₁）, （x₂,y₂）,

因为AB既过C₁的右焦点，又是过C₂的焦点，

所以.

即.                                         ……①

由（Ⅰ）知，于是直线AB的斜率，　　 ……②

且直线AB的方程是,

所以.                                ……③

又因为，所以.         ……④

将①、②、③代入④得，即.

当时，直线AB的方程为；

当时，直线AB的方程为.