A．（选修4-4坐标系与参数方程）已知点A是曲线ρ=2sinθ上任意一点，则点A到直线ρsin(θ+

π

3

)=4的距离的最小值是

 

．
B．（选修4-5不等式选讲）不等式|x-log₂x|＜x+|log₂x|的解集是

 

．
C．（选修4-1几何证明选讲）如图所示，AC和AB分别是圆O的切线，且OC=3，AB=4，延长AO到D点，则△ABD的面积是

 

．

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A．选修4-1：几何证明选讲
锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC=60？，∠BAC=40？，作OE⊥AB交劣弧

AB

于点E，连接EC，求∠OEC．
B．选修4-2：矩阵与变换
曲线C₁=x²+2y2=1在矩阵M=[

1 2 0 1

]的作用下变换为曲线C₂，求C₂的方程．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
P为曲线C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ为参数）上一点，求它到直线C₂：

x=1+2t y=2

（t为参数）距离的最小值．
D．选修4-5：不等式选讲
设n∈N^*，求证：

C 1 n

+

C 2 N

+L+

C N N

≤

n(2n-1)

．

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A．选修4-1：几何证明选讲
如图，直角△ABC中，∠B=90°，以BC为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB的中点．
求证：DE是⊙O的切线．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A有特征值-1及其对应的一个特征向量为

1 -4

，点P（2，-1）在矩阵A对应的变换下得到点P′（5，1），求矩阵A．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρcos(θ-

π

4

)=

2

，曲线C的参数方程为

x=2cosα y=sinα

（α为参数），求曲线C截直线l所得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c都是正数，且abc=8，求证：log₂（2+a）+log₂（2+b）+log₂（2+c）≥6．

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A．选修4-1：几何证明选讲
锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC=60？，∠BAC=40？，作OE⊥AB交劣弧于点E，连接EC，求∠OEC．
B．选修4-2：矩阵与变换
曲线C₁=x²+2y2=1在矩阵M=[]的作用下变换为曲线C₂，求C₂的方程．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
P为曲线C₁：（θ为参数）上一点，求它到直线C₂：（t为参数）距离的最小值．
D．选修4-5：不等式选讲
设n∈N^*，求证：++L+≤．

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A．选修4-1几何证明选讲
如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．
求证：ED²=EB•EC．
B．矩阵与变换
已知矩阵A=，，求满足AX=B的二阶矩阵X．
C．选修4-4 参数方程与极坐标
若两条曲线的极坐标方程分别为ρ=1与ρ=2cos（θ+），它们相交于A，B两点，求线段AB的长．
D．选修4-5 不等式证明选讲设a，b，c为正实数，求证：a³+b³+c³+≥2．

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一、选择题：每小题5分，满分60分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

A

A

C

D

B

A

C

C

A

D

B

二、填空题：每小题4分，满分16分.

13．　

14．　1359

15．　

16．

三、解答题

17．解：(Ⅰ) 0.525                                                                           ……… 4分

(Ⅱ)

0

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

P

                                                                             ………12分

18．解：（Ⅰ）由，得，；

                       所以数列只有三项：，，     ……… 3分

（Ⅱ）由题设，解得或

即当或时得到无穷的常数列或；……… 6分

（Ⅲ）解不等式，得或                     ……… 9分

　　　当时，，

　　　，与矛盾；

　　　当时，，依此类推，可得

综上，                                                                     ………12分

19．解：（Ⅰ）由几何体的三视图可知，底面是边长为的正方形，面，

       ∥，．为的中点，

       又面            ……… 4分

   （Ⅱ）取的中点，与的交点为，∥，

       ∥，故BEMN为平行四边形

       ∥∥面                                                  ……… 8分

   （Ⅲ）分别以为轴建立坐标系，

       则，，

为的中点，

       面为面的法向量，，

       设平面的法向量为，

       则

       ，与的夹角为          ………11分

面与面所成的二面角（锐角）的余弦值为             ………12分

20．解：（Ⅰ）设，由题设得，整理得其中，

故点A的轨迹（含点B、C）M方程为．             ……… ４分

（Ⅱ）过点，与轴平行的切线存在，此时，    ……… 6分

设过点，斜率为的切线方程为，于是

整理得　　　此方程有重根

　　　即

即解得且                          ………10分

所求切线方程为                           ………12分

21．解：由，得，

于是                                                                ……… 3分

　　　　考察函数，可知          ……… 6分

在上， 和变化情况如下表：

x

0

0

－

－

０

＋

＋

０

－

０

＋

0

↓

↓

１

↑

↑

０

↓

↑

                                                                                           ……… 9分

从而，可得圆方程不同实数根的个数如下：

当或或时，有2个；当时，有3个；

当时，有4个；当时，有0个；

当时，有1个．                                                           ………12分

22解:（Ⅰ）连结OF．∵DF切⊙O于F，∴∠OFD=90°．∴∠OFC+∠CFD=90°．

∵OC=OF，∴∠OCF=∠OFC．∵CO⊥AB于O，∴∠OCF+∠CEO=90°．

∴∠CFD=∠CEO=∠DEF，∴DF=DE．

∵DF是⊙O的切线,∴DF²=DB?DA．∴DE²=DB?DA.                    ……… 5分

（Ⅱ），CO=，     ．

∵CE?EF= AE?EB= （+2）（-2）=8，∴EF=2．                  ………10分

23解：（Ⅰ）设M为圆上一点，坐标为，则∠或，

由余弦定理得∴极坐标方程为           ……… 5分

（Ⅱ）的普通方程为，圆心，半径．

的普通方程为．

因为圆心到直线的距离为，

所以与只有一个公共点．                                                  ………10分

24．解：（Ⅰ）由绝对值不等式性质知：

对恒成立

故的解集为，只须既可

的取值范围是                                                         ……… 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知实数的最大值为3，当时，成立

证明如下：（利用分析法）要使成立

只须    等价于  

等价于    等价于，而显然成立，

以上每一步均可逆推，故所证明不等式成立。                            ………10