题目列表(包括答案和解析)
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在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点
，
，
若点C满足
，点C的轨迹与抛物线
交于A、B两点．
（I）求证：
；
（II）在
轴正半轴上是否存在一定点
，使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点
，
，若点C满足
，点C的轨迹与抛物线
交于A、B两点．
（I）求证：
；
（II）在
轴正半轴上是否存在一定点
，使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点
，
，
若点C满足
，点C的轨迹与抛物线
交于A、B两点．
（I）求证：
；
（II）在
轴正半轴上是否存在一定点
，使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
C
D
C
A
C
B
A
D
C
提示与分析：
1．
，故选C。
2．易知p成立，m＜3，q成立，2＜m＜
，从而p成立
成立，故选B。
3．选C
4．由已知得
即
，得
，故选D。
5．易知
,故选C。
6．
，作图知选A。
7．选C。由题：
。
8．设球半径为R,由
，由
知，三棱锥顶点S爱底面ABC内的摄影D是△ABC的外心，又∠ACB=90°，∴D是AB的中点，点O到ABC的距离h=OD，设SA=SB=SC=AB=2
，可得
，或h=10（舍），故选B。
9．由题设易知M是PF的中点，设椭圆右焦点为
，由
知，
=8,
，又易知该椭圆的离心率
，再由椭圆第二定义得，点P到椭圆左准线的距离
，故选A。
10．由
，∴
故选D。
11．由题设知
是周期为2的周期函数，由
时，
，可作出再R上的简图，又
是偶函数，再作出简图，则可确定两图像的交点个数，故选C。
二、填空题
12．112 13．9 14．32 15．①②④
提示与分析：
12．令
得
，再分别令
得两式，再相加可得
，从而得知
。
13．由题得：
，
得：
，而
可看作是单位圆上的点（m，n）到点（2，0）的距离，则易知，
的最大值为9．
14．由题设知，
又0＜q＜1则得
，∴
15．如图，①知直线BC与面
所成的角即为∠
,故①正确。
②易知四面体
在四个侧面的摄影图形面积均最小，为正方形面积之半，故②正确
③点M到平面的距离，即为点
到平面的距离。其等于
，故③不正确。
④易知BM与
所成的角，即为BM与
所成的角，设∠
∠
易知
，
，即
，故④正确。
三、解答题
16．（1）由题设知：
再由余弦定理得：
当且仅当
时取等号，故所求B的取值范围是
（3分）
（2）∵
，∴
，
∴0＜b
，当且仅当时，
∴
∴
（6分）
（3）由（1）（2）易知，当△ABC的面积S最大时，△ABC是边长为2的正△，此时易知
∠
∠
在△AGM中，由正弦定理得：
则
在△AGN中，同理可得：
（10分）
∴
（或用降次公式化简）
（12分）
17．解法一：
（1）由PB⊥面ABCD，CD⊥PD知CD⊥BD
在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB=AD=3,
∴BD=
，BC=6
取BC的中点F，连结AF，则AF∥CD，
∴PA与CD所成的角就是∠PAF （4分）
连PF由题设易知AF=PF=PA=,
∴∠PAF=60°即为所求 （6分）
（2）连AC交BD于G，连EG，易知
,
又
∴
，∴PC∥EG,又EG
面EBD，∴PC∥面EBD （10分）
（3）∵PB⊥面ABCD，∴AD⊥PB，
又AD⊥AB，∴AD⊥面EAB
作AH⊥BE于H，连DH，则DH⊥BE, （12分）
在△AEB中，易求得BE=
，
在
△DAH中，
∠
即所求二面角的大小为
（14分）
解法二：（1）如图建立空间直角坐标系
，设
则A（0,3,0）,P（0,0,3）D（3,3,0）,C（，0，0），
=
∵
，∴
，
即：3（3-）+9=0
（2分）
∴
∴
∴
，即异面直线PA与CD所成的交为60°
（6分）
（2）设平面BED的法向量为
∵
由
得
，∴
（12分）
又由（1）知
，∴
，∴PC∥面EBD （10分）
（3）由（2）知
又平面ABE的法向量
，
故所求二面角的大小为
（14分）
18．（1）在第一环节中，乙选手从6道题目中任选3道至少有1道操作题的概率
（4分）
（2）在第二环节中，甲抢到的题目多于乙选手而不多于丙选手的情况有以下三种：
甲、乙、丙三位选手抢到的题目的个数分别为1，0，4；2，0，3；2，1，2，
故所求的概率
（8分）
（3）在第三个环节中，就每一次答题而言，丙选手得分是一个随机变量
，
若选A类题，其得分的期望是
（分）
若选B类题，其得分的期望是
（分）
若选C类题，其得分的期望是
（分）
由于
＞
=
,故丙应选B类得分的切望值更大。（12分）
19．（1）依题意可得：
（4分）
（2）由
当
时，
，则
∴
，∴
即第
次操作后溶液的浓度为
（9分）
（3）由（2）可得：
则
由错位相减法可求得：
故所求
（13分）
20．（1）由
＜0，
＞
，∴
又
＞
＜
，∴
从而有 
（4分）
（2）由（1）可知，
故
，则
令
＞
∵
＞
得
＞，∴＞
令＜∵＞，解得＜＜
列表：
（0，1）
1
（1，+∞）
－
0
+
↓
0
↑
即 在
处有最小值0 （8分）
（3）由
易知
时，
＜
∴
为减函数，其最小值为1
令
在
上单增，其最大值为
依题意得：
又＞
∴＜
（14分）
21．（1）由题设及平面几何知识得：
＜
,
∵动点P的轨迹是以A、B为交点的双曲线右支，
由
故所求P点的轨迹方程为：
（4分）
（2）易知 直线
恒过双曲线焦点B（3，0）
设该直线与双曲线右支相交于
由双曲线第二定义知，
又
∴
，则
，
由
得
，从而易知，仅当
时，
满足
故所求 （8分）
（3）设
，且p分有向线段
所成的比为
，
则
，
，
又点
在双曲线
上，∴
化简得：
又
∴
（11分）
令
∵
在上单减，在
上单增，
又
，∴在
上单减，在
上单增，∴
又
，∴
故所求
的最小值为9，最大值为
。 （14分）
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