如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进． 现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字． 质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前两步（如由A到C），当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到D）． 在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．
（1）求点P恰好返回到A点的概率；
（2）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求ξ的分布列及数学期望．

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（12分）掷两枚骰子，它们的各面点数都分别为1，2，2，3，3，3，为两枚骰子的点数之和．

（Ⅰ）写出 的分布列．

（Ⅱ）求: 掷出的两枚骰子的点数相同的概率。

（Ⅲ）设，求的最大值（其中）

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一个均匀的正四面体的四个面上分别写有1、2、3、4四个数字，现随机投掷两次，正四面体下底面上的数字分别为x₁、x₂，设O为坐标原点，点P的坐标为（x₁-3，x₂-3），记．
（Ⅰ）分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列及数学期望．

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一．选择题

题号

１

２

３

４

５

６

７

８

９

１０

１１

１２

答案

Ｂ

C

Ｂ

C

A

D

C

B

A

D

D

A

二．１３．      １４．　　    １５．　    １６．（万元）

三．17．（I） 由

代入 得：     

整理得：                  (5分)

（II）由 

        由余弦定理得：

∴

       -----------------------------   (9分)

又       ------   （12分）

１８．（Ⅰ）  的分布列．   

   2

   3

   4

   5

    6

p

                                - --------- ------   (4分)

（Ⅱ）设掷出的两枚骰子的点数同是为事件

     同掷出1的概率，同掷出2的概率，同掷出3的概率

所以，掷出的两枚骰子的点数相同的概率为Ｐ＝ 　（８分）

（Ⅲ）

时)

　　２

　 3

　　4

　 5　

　　６

　  3

   6

    6

   6

    6

 p

＝

时)

　　２

　 3

　　4

　 5　

　　６

　  2

   5

    8

   8

    8

 p

＝

时)

　　２

　 3

　　4

　 5　

　　６

　  1

   4

    7

  10

    10

 p

＝

时, 最大为                             (12分)

１９．（Ⅰ）

    两两相互垂直, 连结并延长交于F．

    同理可得

          ------------  (6分)

（Ⅱ）是的重心

    F是SB的中点

   梯形的高

        ---     (12分)

       【注】可以用空间向量的方法

2０．设2，f (a₁),  f (a₂),  f (a₃), …，f (a_n),  2n+4的公差为d，则2n+4=2+(n+2－1)d   d=2,

……………………（4分）

   （2），

       --------------------              (8分)

21．（Ⅰ）∵直线的斜率为１，抛物线的焦点　

　　　　∴直线的方程为

　　　由

　　设

　　则

　　又

　　故　夹角的余弦值为　　　　----------------- 　　（６分）

（Ⅱ）由

　　即得：

　　由　

从而得直线的方程为

　∴在轴上截距为或

　 ∵是的减函数

∴　　从而得

故在轴上截距的范围是　　------------ （１２分）

22．（Ⅰ）　

　　　　在直线上，

　　　　　　　　　　　　　　　　??????????????　　　　　　（４分）

（Ⅱ）

　在上是增函数，在上恒成立

　所以得　　　　　　　　　???????????????　　（８分）

（Ⅲ）的定义域是，

①当时，在上单增，且，无解；

　②当时，在上是增函数，且，

有唯一解；

③当时，

那么在上单减，在上单增，

而

　   时，无解；

　　　　　时，有唯一解　；

　　　　　时，

　　　　　那么在上，有唯一解

而在上，设

即得在上，有唯一解．

综合①②③得：时，有唯一解；

　　　　　　　 时，无解；

　　　　　　　时，有且只有二解．

　  　　　　　　　　　　　　??????????????　　　　　（１４分）