题目列表(包括答案和解析)
（07年全国卷Ⅰ文）
是第四象限角，
，则
A．
B．
C． 
D．
（07年山东卷）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. 设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为
，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为
，则从频率分布直方图中可以分析出和分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
（08年山东卷文）若圆
的半径为1，圆心在第一象限，且与直线
和
轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
（宁波市2009学年度第一学期期末试卷10）．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次
沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点，若青蛙从
这点开始跳，则经2009次跳后它停在的点所对应的数为（ ）
A．
B．
C．
D．
（辽宁卷理9文10）一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
一、选择题：每小题5分，共60分．
BABDB DCABD BD
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷相应题号的横线上．
13．某校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有老师中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n的值为：16
14．若△ABC三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且acosB+bcosA=csinC，则角C的大小为：
15．若
、
满足约束条件
的最大值为：2
16．若
，且
，则实数x的取值范围是：
三、解答题：本大题共6小题，共70分．把答案填在答题卷相应题号的答题区中．
17．（本小题满分10分）
如图，已知
，
，且
，
．
（I）试用
表示
；
（Ⅱ）设向量
和
的夹角为
，求
的值．
解：（I）设
，则
，
； …………3分
因
，
，
，
所以
解得：
即
． …………5分
（Ⅱ）由（I）知
，又
，
所以 
)
(
)=
，
…………8分
故 
． …………10分
18．（本小题满分10分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分配到
四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时被分配到
岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人被分配到不同岗位服务的概率．
解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时被分到岗位服务为事件
，
那么
，
即甲、乙两人同时被分到岗位服务的概率是
． …………5分
（Ⅱ）设甲、乙两人同时被分到同一岗位服务为事件
，
那么
，
故甲、乙两人被分到不同岗位服务的概率是
． …………10分
19．（本小题满分12分）
如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，AB=AD=
，CA=CB=CD=BD=2．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小．
解:(方法一)
（Ⅰ）连结OC．∵BO=DO，AB=AD，
BC=CD，
∴AO⊥BD，CO⊥BD． …………3分
在△AOC中，由已知得AC=2，AO=1，CO=
，
∴AO2+CO2=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．
∴AO
平面BCD． …………6分
（Ⅱ）分别取AC、BC的中点M、E，连结OM、ME、OE，则
ME∥AB，OE∥DC．
∴
（或其补角）等于异面直线AB与CD所成的角． …………9分
在△OME中，
又 
是直角△AOC斜边AC上的中线，∴
∴
∴异面直线AB与CD所成角的大小为
…………12分
(方法二)
（Ⅰ）同方法一． …………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AO⊥OC，AO⊥BD，CO⊥BD．
以O为原点，建立空间直角坐标系如图， …………7分
则A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(-1，0，0) ． …………10分
所以 
，
∴异面直线AB与CD所成角的大小为
…………12分
20．（本小题满分12分）
数列
满足
，且
．
（I）求
，并证明数列
是等比数列；
（II）求
．
解：（I）
，
； …………2分
又，
， …………4分
且 
所以数列
是以-2为首项，3为公比的等比数列． …………6分
（II）由（I）得
， 
． …………8分
…………10分
…………12分
21.（本小题满分13分）
已知函数
，在任意一点
处的切线的斜率为
.
（I）求函数
的单调区间；
（II）若
在
上的最小值为
，求在R上的极大值.
21. 解：（I）因
,所以
； …………2分
故 
, 
，
，
，
, 
. …………4分
由
知在
和
上是增函数，
由
知在（-1，2）上为减函数. …………8分
（II）由（I）知在（-3，-1）上是增函数，在（-1，2）上为减函数，
所以 在
上的最小值是
或
，极大值为
. …………10分
而
，
,
，
∴在上的最小值是
,∴
,
. …………12分
，
即所求函数在R上的极大值为
…………13分
22．（本小题满分13分）
如图，倾斜角为
的直线经过抛物线
的焦点F，且与抛物线交于A、B两点．
（I）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
（II）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明
为定值，并求此定值．
解：（I）设抛物线的标准方程为
，则
，从而
．
因此抛物线焦点F的坐标为（2，0），准线方程为
． ……………4分
（II）作AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C、D，
则由抛物线的定义知：|FA|=|AC|，|FB|=|BD|．
记A、B的横坐标分别为xA、xB，则
|FA|＝|AC|＝
解得
； ……………7分
|FB|＝|BD|＝
解得
． ……………9分
记直线m与AB的交点为E，则
，
所以
． ……………12分
故
． ……………13分
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