为了解高中一年级学生身高情况，某校按10%的比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查，测得身高频数分布表如下表1、表2．

表1：男生身高频数分布表

 

身高（cm）	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）	[180，185）	[185，190）
频数	2	5	14	13	4	2

 

表2：女生身高频数分布表

 

身高（cm）	[150，155）	[155，160）	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）
频数	1	7	12	6	3	1

 

（I）求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图；

（II）估计该校学生身高在的概率；

（III）从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185190cm之间的概率。

【解析】第一问样本中男生人数为40 ，

由分层抽样比例为10%可得全校男生人数为400

（2）中由表1、表2知，样本中身高在的学生人数为：5+14+13+6+3+1=42，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在的频率 

故由估计该校学生身高在的概率 

（3）中样本中身高在180185cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④ 样本中身高在185190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥从上述6人中任取2人的树状图，故从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率

由表1、表2知，样本中身高在的学生人数为：5+14+13+6+3+1=42，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在

的频率-----------------------------------------6分

故由估计该校学生身高在的概率．--------------------8分

（3）样本中身高在180185cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④ 样本中身高在185190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥从上述6人中任取2人的树状图为：

--10分

故从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率

 

为了了解某市工人开展体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18，27，18个工厂

（Ⅰ）从A，B，C区中分别抽取的工厂个数；

（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.

【解析】本试题主要考查了统计和概率的综合运用。

第一问工厂总数为18+27+18=63，样本容量与总体中的个体数比为7/63=1/9…3分

所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2。

第二问设A₁，A₂为在A区中的抽得的2个工厂，B₁，B₂­，B₃为在B区中抽得的3个工厂，

C₁，C₂为在C区中抽得的2个工厂。

这7个工厂中随机的抽取2个，全部的可能结果有1/2*7*6=32种。

随机的抽取的2个工厂至少有一个来自A区的结果有A₁，A₂），A₁，B₂），A₁，B₁），

A₁，B₃）A₁，C₂），A₁，C₁）， …………9分

同理A₂还能给合5种，一共有11种。  

所以所求的概率为p=11/21

 

改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村到年十年间每年考入大学的人数．为方便计算，年编号为，年编号为，…，年编号为．数据如下：

年份（）	１	２	３	４	５	６	７	８	９	１０
人数（）	３	５	８	１１	１３	１４	１７	２２	３０	３１

（１）从这年中随机抽取两年，求考入大学的人数至少有年多于人的概率；

（２）根据前年的数据，利用最小二乘法求出关于的回归方程，并计算第年的估计值和实际值之间的差的绝对值。

　

【解析】（1）设考入大学人数至少有1年多于15人的事件为A则P（A）=1-=      （4’）

（2）由已知数据得=3,=8,=3+10+24+44+65=146=1+4+9+16+25=55（7’）

则=,                   （9’）

 则回归直线方程为y=2.6x+0.2                           （10’）

则第8年的估计值和真实值之间的差的绝对值为

 

已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的实数x只有一个．

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)若数列{a_n}满足a₁＝，a_n+1＝f(a_n)，b_n＝－1，n∈N^*，证明数列{b_n}是等比数列，并求出{b_n}的通项公式；

(3)在(2)的条件下，证明：a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n<1(n∈N^*)．

【解析】解： (1)由f(x)＝，f(1)＝1，得a＝2b＋1.

由f(x)＝2x只有一解，即＝2x，

也就是2ax²－2(1＋b)x＝0(a≠0)只有一解，

∴b＝－1.∴a＝－1.故f(x)＝.…………………………………………4分

(2)a_n＋1＝f(a_n)＝(n∈N^*)，b_n＝－1， ∴＝＝＝，

∴{b_n}为等比数列，q＝.又∵a₁＝，∴b₁＝－1＝，

b_n＝b₁q^n－1＝^n－1＝ⁿ(n∈N^*)．……………………………9分

(3)证明：∵a_nb_n＝a_n＝1－a_n＝1－＝，

∴a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n＝＋＋…＋<＋＋…＋

＝＝1－<1(n∈N^*)．