如图：中心为原点的双曲线的一条渐近线为y=x，焦点A、B在x轴上，焦距|AB|为．
（1）求此双曲线方程；
（2）过P（2，0）的直线L交双曲线于点M、N，．求证：对于任意直线L，数量积是定值，并求出该定值．
（3）在（2）的条件下，求|QM|²+|QN|²-|MN|²的值．

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如图：中心为原点的双曲线的一条渐近线为y=x，焦点A、B在x轴上，焦距|AB|为．
（1）求此双曲线方程；
（2）过P（2，0）的直线L交双曲线于点M、N，．求证：对于任意直线L，数量积是定值，并求出该定值．
（3）在（2）的条件下，求|QM|²+|QN|²-|MN|²的值．

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如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F₁，F₂在x轴上，长轴A₁A₂的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA₁|：|A₁F₁|=2：1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l₁：x=m（|m|＞1），P为l₁上的动点，使∠F₁PF₂最大的点P记为Q，求点Q的坐标（用m表示）．

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如图，函数y=f（x）的图象是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆的两段弧，则不等式f（x）＜f（-x）+x的解集为（　　）

A、{x|- 2 ＜x＜0或 2 ＜x≤2}

B、{x|-2≤x＜- 2 或 2 ＜x≤2}

C、{x|-2≤x＜- 2 2 或 2 2 ＜x≤2}

D、{x|- 2 ＜x＜ 2 ，且x≠0}

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如图，函数y=f（x）的图象是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的两段弧，则不等式f（x）＜f（-x）+x的解集为（　　）

A、{ 2 2 ＜x≤2或 2 2 ＜x≤2}

B、{x|-2≤x＜ 2 或 2 ＜x≤2}

C、{x|- 2 ＜x＜0或 2 ＜x≤2}

D、{x|- 2 ＜x＜ 2 ，且x≠0}

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一、选择题(每小题5分，共50分)

  1．C  2．B  3．D  4．A  5．C  6．B  7．A  8．C  9．B  10．D

二、填空题(每小题4分．共24分)

  11．5  12．4   13．3825   14． 15．   16．3

三．解答题(本大题共6小题，共76分)

17．(本题12分)

解：(Ⅰ)∵，

∴          ………………………(2分)

∴    ………………………(3分)

∴              ……………………(4分)

∵在中，

∴                             ………………………(5分)

(Ⅱ)设分别是中的对边，

∵?

∴

∴    ①                                          ……………………(6分)

由正弦定理：，得              ……………………(7分)

∴

∴    ②                                          ……………………(8分)

由①②解得                                    ……………………(9分)

由余弦定理，得                       ………………(10分)

                                                        ………………(11分)

∴，即边的长为。                              ……………………(12分)

18．(本题12分]

解：(Ⅰ)∵是偶函数，

∴，即            ……(2分)

                                  ………………………………(4分)

∴对一切恒成立。

∴                                    ……………………………………(6分)

(Ⅱ)由                            ………………(7分)

                                           …………………(8分)

∵错误！不能通过编辑域代码创建对象。≥                                           ……………………(10分)

∴≥                                    …………………(11分)

∴≤

∴若使方程有解，则的取值范围是≤          ………………(12分)

19．(本题12分)

解：(Ⅰ) ∵分别是的中点，

∴且                                  ……………………(1分)

∵平面,平面

∴平面                                   …………………………(2分)

∵平面平面，平面

∴                                          …………………………(4分)

∵是的中点，

∴是的中点．

∴                               ………………………(5分)

∴

∴四边形是平行四边形                         …………………………(6 分)

(Ⅱ)当时，平面平面                   …………………(8分)

在上取一点，连接

当时，

∵，

∴

即当时，，                    ……………………(9分)

∵，，

∴平面                                       ……………………(10分)

∵

∴平面                                 ……………………………(11分)

∵平面

∴平面平面                     …………………………………(12分)

20．(本题12分)

解：(Ⅰ) ∵

∴                           ………………………………(2分)

∵在区间上为减函数

∴≤O在区间上恒成立                      …………………………(3分)

∵是开口向上的抛物线

        ≤      ≤

∴只需              即                               …………………………(5分)

        ≤       ≤

∴≤≤                             ………………………………………(6分)

(Ⅱ)当时，                     

∴存在，使得

∴在区间内有且只有一个极小值点                      ……………(8分)

当时                      

∴存在，使得

∴在区间内有且只有一个极大值点                     ……………(10分)

当≤≤时，由(Ⅰ)可知在区间上为减函数

∴在区间内没有极值点．

综上可知，当时，在区间内的极值点个数为

当≤≤时，在区间内的极值点个数为          ………(12分)

21．(本题14分)

解：(Ⅰ)设椭圆的长半轴长为，短半轴长，半焦距为，

由离心率，得

∵

∴            ①                                     …………………(2分)

∵直线的方程为，原点到直线的距离为，

∴  ②                                     …………………(4分)

①代人②，解得                            ………………………(6分)

∴椭圆的标准方程为                        …………………………(7分)

(Ⅱ) ∵

∴?=

∴?=?(-)=²                                    …………………(9分)

设,则，即                     ………………(10分)

∴?=²