过抛物线的对称轴上的定点，作直线与抛物线相交于两点．

（I）试证明两点的纵坐标之积为定值；

（II）若点是定直线上的任一点，试探索三条直线的斜率之间的关系，并给出证明.

【解析】本题主要考查抛物线与直线的位置关系以及发现问题和解决问题的能力．

（1）中证明：设下证之：设直线AB的方程为: x=ty+m与y²=2px联立得消去x得y²=2pty-2pm=0，由韦达定理得 

 (2)中：因为三条直线AN,MN,BN的斜率成等差数列，下证之

设点N（-m,n），则直线AN的斜率K_AN=，直线BN的斜率K_BN=

K_AN+K_BN=+

本题主要考查抛物线与直线的位置关系以及发现问题和解决问题的能力．

已知过点的动直线与抛物线相交于两点．当直线的斜率是时，．

（１）求抛物线的方程；

（２）设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围．

【解析】（1）B,C，当直线的斜率是时，

的方程为，即                                （1’）

联立  得，         （3’）

由已知  ,                    （4’）

由韦达定理可得G方程为            （5’）

（2）设：，BC中点坐标为               （6’）

得 由得       （8’）

BC中垂线为             （10’）

                  （11’）

如图，直线与抛物线交于两点，与轴相交于点，且.

（1）求证：点的坐标为；

（2）求证：；

（3）求的面积的最小值.

【解析】设出点M的坐标，并把过点M的方程设出来.为避免对斜率不存在的情况进行讨论，可以设其方程为,然后与抛物线方程联立消x，根据,即可建立关于的方程.求出的值.

（2）在第（1）问的基础上，证明：即可.

（3）先建立面积S关于m的函数关系式，根据建立即可，然后再考虑利用函数求最值的方法求最值.

已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1

（1）   求曲线C的方程.

（2）   是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有?若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由.

【解析】(1)由题意知曲线C上的点到F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等.

可确定其轨迹是抛物线，即可求出其方程为y²=4x.

(2)设过点M的直线方程为x=ty+m,然后与抛物线方程联立，消去x,利用韦达定理表示出,再证明其小于零即可.

已知中心在原点O，焦点F₁、F₂在x轴上的椭圆E经过点C（2，2），且抛物线的焦点为F₁.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程.

【解析】本试题主要考查了椭圆的方程的求解以及直线与椭圆的位置关系的运用。第一问中，设出椭圆的方程，然后结合抛物线的焦点坐标得到，又因为，这样可知得到。第二问中设直线l的方程为y=-x+m与椭圆联立方程组可以得到

，再利用可以结合韦达定理求解得到m的值和圆p的方程。

解：(Ⅰ)设椭圆E的方程为

①………………………………1分

  ②………………２分

  ③       由①、②、③得a²=12,b²=6…………3分

所以椭圆E的方程为…………………………4分

(Ⅱ)依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m，……………5分

 代入椭圆E方程，得…………………………6分

………………………7分

、………………8分

………………………9分

……………………………10分

    当m=3时，直线l方程为y=-x+3，此时，x₁ +x₂=4，圆心为（2，1），半径为2，

圆P的方程为（x-2）²+(y-1)²=4；………………………………11分

同理，当m=－3时，直线l方程为y=-x－3，

圆P的方程为（x+2）²+(y+1)²=4