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设P₁（x₁，y₁），P₁（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）（n≥3，n∈N） 是二次曲线C上的点，且a₁=|OP₁|²，a₂=|OP₂|²，…，a_n=|OP_n|²构成了一个公差为d（d≠0） 的等差数列，其中O是坐标原点．记S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（1）若C的方程为-y²=1，n=3．点P₁（3，0） 及S₃=162，求点P₃的坐标；（只需写出一个）
（2）若C的方程为y²=2px（p≠0）．点P₁（0，0），对于给定的自然数n，证明：（x₁+p）²，（x₂+p）²，…，（x_n+p）²成等差数列；
（3）若C的方程为（a＞b＞0）．点P₁（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S_n的最小值．

符号意义	本试卷所用符号	等同于《实验教材》符号
向量坐标	={x，y}	=（x，y）
正切	tg	tan

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说明

 1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

一、（第1题到第12题）

（1）p             （2）            （3）－49           （4）

（5）arctg2          （6）[1，3]         （7）     （8）（a₁>0，0<q<1的一组数）

（9）            （10）2.6            （11）4p             （12）|PF₂|=17

二、（第13题至第16题）

（13）C    （14）D   （15）D   （16）B

三、（第17题至第22题）

（17）[解]  |z₁?z₂| = |1+sinq cosq +（cosq－sinq ）i|

    故|z₁?z₂|的最大值为，最小值为．

（18）[解]连结BC，因为B₁B⊥平面ABCD，B₁D⊥BC，所以BC⊥BD．

在△BCD中，BC=2，CD=4，

所以

又因为直线B₁D与平面ABCD所成的角等于30°，所以∠B₁DB＝30°，于是

故平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁的体积为

（19）[解]  x须满足，由得－1<x<1，

所以函数f （x）的定义域为（－1，0）∪（0，1）．

因为函数f （x）的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有

所以f （x）是奇函数．

研究f （x）在（0，1）内的单调性，任取x₁、x₂∈（0，1），且设x₁< x₂，则

由

得f （x₁）－f （x₂）>0，即f （x）在（0，1）内单调递减，

由于f （x）是奇函数，所以f （x）在（－1，0）内单调递减．

（20）[解]（1）如图建立直角坐标系，则点p（11，4.5），

椭圆方程为

将b=h＝6与点p坐标代入椭圆方程，得，此时

因此隧道的拱宽约为33.3米．

（2）由椭圆方程

     得 

     因为即ab≥99，且l＝2a，h＝b，

所以

当S取最小值时，有，得

故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米，土方工程量最小．

[解二]由椭圆方程得

于是

即ab≥99，当S取最小值时，有

得以下同解一．

（21）[解]（1）设，则由即得

或     因为

所以  v－3>0，得  v＝8，故 

（2）由得B（10，5），于是直线OB方程：

由条件可知圆的标准方程为：（x－3）²＋（y＋1）²＝10，

得圆心（3，－1），半径为

设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x，y），则

得

故所求圆的方程为（x－1）²＋（y－3）²＝10．

（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）为抛物线上关于直线OB对称的两点，则

得

即x₁、x₂为方程的两个相异实根，

于是由得

故当时，抛物线y =ax²－1上总有关于直线OB对称的两点．

（22）[解]（1）

（2）归纳概括的结论为：

若数列｛a_n｝是首项为a₁，公比为q的等比数列，则

，n为整数．

证明：

（3）因为

所以