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设S是满足下列两个条件的实数所构成的集合：①1∉S；②若a∈S，则∈S．试解答下列问题：
（1）若2∈S，则S中必还有其他两个元素，求出这两个元素；
（2）求证：若a∈S，则1-∈S；
（3）在集合S中，元素的个数能否只有1个？请说明理由．

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    155  

         0

17、解：（Ⅰ）

（Ⅱ）

18、解: (I)　由于在闭区间[0，7]上，只有，故．若是奇函数，则，矛盾．所以，不是奇函数．

由

,　从而知函数是以为周期的函数．

若是偶函数，则．又，从而．

由于对任意的（3，7]上，，又函数的图象的关于对称，所以对区间[7，11）上的任意均有．所以，，这与前面的结论矛盾．

所以，函数是非奇非偶函数．

 (II) 由第(I)小题的解答，我们知道在区间（0，10）有且只有两个解，并且．由于函数是以为周期的函数，故．所以在区间[－2000,2000]上，方程共有个解．

在区间[2000,2010]上，方程有且只有两个解．因为

，

所以，在区间[2000,2005]上，方程有且只有两个解．

在区间[－2010,－2000]上，方程有且只有两个解．因为

，

所以，在区间[－2005,－2000]上，方程无解．

　　综上所述，方程在[－2005,2005]上共有802个解.

19、[解]（1）

      （2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此

.                        

    由于.                         

  （3）[解法一] 当时，.

               ，                              . 又，

       ①  当，即时，取，

       .

       ，

       则.                                                

       ②  当，即时，取，    ＝.

    由 ①、②可知，当时，，.

因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方. 

    [解法二] 当时，.

由 得，

    令 ，解得 或，               

在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点； 当时，的图像与函数的图像没有交点.    

如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.

20、解：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则

∵点在函数的图象上

∴

(Ⅱ)由

当时，，此时不等式无解

当时，，解得

因此，原不等式的解集为

（Ⅲ）

①

②

?）

?）

21、解：（I）∵，

∴要使有意义，必须且，即

∵，且……①    ∴的取值范围是。

由①得：，∴，。

（II）由题意知即为函数，的最大值，

∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：

（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，

由知在上单调递增，故；

（2）当时，，，有=2；

（3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，

若即时，，

若即时，，

若即时，。

综上所述，有=。

（III）当时，；

      当时，，，∴，

，故当时，；

当时，，由知：，故；

当时，，故或，从而有或，

要使，必须有，，即，

此时，。

综上所述，满足的所有实数a为：或。