题目列表(包括答案和解析)
已知抛物线
的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，直线m垂直于x轴（垂足为T），与抛物线交于不同的两点P、Q且
.
（I）求点T的横坐标
；
（II）若以F1,F2为焦点的椭圆C过点
.
①求椭圆C的标准方程；
②过点F2作直线l与椭圆C交于A,B两点，设
，若
的取值范围.
的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），以F2为圆心，b-c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，已知|PT|的最小值不小于
．
．
．
，若
的取值范围．
．
．
，若
的取值范围．
．
．
，若
的取值范围．
一、选择题
（1）C （2）B （3）D （4）A （5）B
（6）B （7）B （8）D （9）D （10）A
（11）B （12）C
二、填空题
（13）
（14）－6 （15）
（16）576
三、解答题
（17）（本小题满分12分）
解：（I）当
时，
。
依条件有：
∴
∴
的单调增区间为
6分
（II）设
∴
∴
∴
依条件令
，即
时，为偶函数。 12分
（18）（本小题满分12分）
解：（I）四件产品逐一取出排成一列共有
种方法，前两次取出的产品都是二等品的共有
种方法，∴前两次取出的产品都是二等品的概率为
； 6分
（II）
的所有可能取值为2，3，4，∴的概率分布为
2
3
4
P
∴
12分
（19）（本小题满分12分）
（I）证明：∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC，∴AC⊥CC1。
∵AC⊥BC，∴AC⊥平面B1BCC1。
∴B1C是AB1在平面B1BCC1上的射影。
∵BC＝CC1，∴四边形B1BCC1是正方形。
∴BC1⊥B1C。根据三垂线定理得
AB1⊥BC1 4分
（II）解：设
，作OP⊥AB1于点P
连结BP，∵BO⊥AC，且BO⊥B1C，
∴BO⊥平面AB1C
∴OP是BP在平面AB1C上的射影。
根据三垂线定理得AB1⊥BP。
∴∠OPB是二面角B－AB1－C的平面角
∵
在Rt△POB中，
∴二面角B－AB1－C的正切值为
8分
（III）解：解法1：∵A1C1∥AC，AC
平面AB1C，
∴A1C1∥平面AB1C。
∴点A1到平面AB1C的距离与点C1到平面AB1C的距离相等。
∵BC1⊥平面AB1C，
∴线段C1O的长度为点A1到平面AB1C的距离
∴点A1到平面AB1C的距离为
a 12分
解法2：连结A1C，有
设点A1到平面AB1C的距离为h。
∵B1C1⊥平面ACC1A1，∴
?h＝
，
又
∴
，
∴点A1到平面AB1C的距离为
12分
（20）（本小题满分12分）
解：（I）若在[0，
）上是增函数，则
时
恒成立
即
恒成立
∴
故a的取值范围是
6分
（II）若
上是增函数
则
恒成立
即
对所有的
均成立
得
，与题设
矛盾。
∴上不是增函数 12分
（21）（本小题满分14分）
解：（I）设E（x，y），则
由已知得
∴
即为点E的轨迹方程。 4分
（II）设椭圆C的方程为
，过F1的直线为
，P、Q在椭圆C上，
∴
两式相减，得
①
而
，
代入①得
②
由与圆
相切，得
代入②得
，
而
椭圆C的方程为
9分
（III）假设存在直线
，设MN的中点为
由|TM|＝|TN|，∴TP为线段MN的中垂线，其方程为
又设
相减并由
整理得：
又点P（－4k，2）在椭圆的内部
∴
，解之得
，即k不存在
∴不存在直线l满足题设条件。 14分
（22）（本小题满分12分）
解：（I）P2表示从S点到A（或B、C、D），然后再回到S点的概率
所以
；
因为从S点沿SA棱经过B或D，然后再回到S点的概率为
，
所以
4分
（II）设小虫爬行n米后恰回到S点的概率为Pn，那么
表示爬行n米后恰好没回到S点的概率，则此时小虫必在A（或B、C、D）点
所以
8分
（III）由
从而
所以
12分
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