令h(x)=,求得h(x)<.故--------------------------------5分——青夏教育精英家教网—

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已知．

（１）求的单调区间；

（２）证明：当时，恒成立；

（３）任取两个不相等的正数，且，若存在使成立，证明：．

【解析】（1）g(x)=lnx+，= （1’）

当k0时，>0，所以函数g(x)的增区间为（0，+），无减区间；

当k>0时，>0,得x>k；<0，得0<x<k∴增区间（k,+）减区间为（0，k）（3’）

(2)设h(x)=xlnx-2x+e(x1)令= lnx-1=0得x=e, 当x变化时，h(x),的变化情况如表

所以h(x)0, ∴f(x)2x-e （5’）

设G(x)=lnx-(x1) ==0,当且仅当x=1时,=0所以G(x) 为减函数, 所以G(x) G(1)=0, 所以lnx-0所以xlnx(x1)成立,所以f(x) ,综上,当x1时, 2x-ef(x)恒成立.

(3) ∵=lnx+1∴lnx0+1==∴lnx0=-1 ∴lnx0 –lnx=-1–lnx===(10’) 设H(t)=lnt+1-t(0<t<1), ==>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函数,并且H(t)在t=1处有意义, 所以H(t) <H(1)=0∵∴=

∴lnx0 –lnx>0, ∴x0 >x

已知函数f（x）=ax（x-1）²+1，（x∈R）和函数g（x）=（2-a）x³+3ax²-ax，（x∈R）
（Ⅰ）令h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在[1，+∞）上存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
（Ⅱ）当a＜0时，若F（x）=f（x）+a有极大值-7，求实数a的值．

已知二次函数g（x）对任意实数x不等式x-1≤g（x）≤x²-x恒成立，且g（-1）=0，令f(x)=g(x)+mlnx+

1

2

(m∈R)．
（I）求g（x）的表达式；
（Ⅱ）若?x＞0使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）设1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，证明：对?x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．

已知函数f（x）=x，函数g（x）是反比例函数，且g（1）=2，令h（x）=f（x）-g（x）．
（1）求函数g（x），并证明函数h（x）在（0，+∞）上是单调增函数；
（2）解h（x）＞1．

已知函数f（x）的图象与函数g（x）=2^x关于直线y=x对称，令h（x）=f（1-|x|），则关于函数h（x）有以下命题：
（1）h（x）的图象关于原点（0，0）对称；
（2）h（x）的图象关于y轴对称；
（3）h（x）的最小值为0；
（4）h（x）在区间（-1，0）上单调递增．
中正确的是

②④

．