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在环保知识有奖问答比赛中，甲、乙、丙同时回答一道有关水体净化知识的问题，甲答对的概率是，甲、丙两人都打错的概率是，乙、丙两人都答对的概率是．
求：（1）乙、丙两人各自答对这道题目的概率．
（2）（理做）答对这道题目的人数的随机变量ξ的分布列和期望．
（文做）甲、乙、丙三人中至少有两人答对这道题目的概率．

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一、

1．C       2．C       3．C       4．D      5．C       6．B       7．C       8．A      9．D      10．C

11．B     12．B

【解析】

11．提示：设曲线在点处切线倾斜角为，则，由，得，故，所以，故选B．

12．提示：整形结合．

二、

13．          14．          15．3            16．①③

三、

17．解：（1）

              的单调递增区间为

       （2）

18．（1）设乙、丙各自回答对的概率分别是、，根据题意得：

              ，解得

              （2）．

19．解：（1）的解集有且只有一个元素

              或

              又由得

              当时，；

              当时，

       （2）                   ①

                    ②

        由式①-或②得

              ．

20．解法一：

（1）设交于点

              平面．

作于点，连接，则由三垂线定理知：是二面角的平面角．

由已知得，

，

∴二面角的大小的60°．

       （2）当是中点时，有平面．

              证明：取的中点，连接、，则，

              ，故平面即平面．

              又平面，

              平面．

解法二：由已知条件，以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则

       （1），

              ，设平面的一个法向量为，

则取

设平面的一个法向量为，则取．

二面角的大小为60°．

（2）令，则，

       ，

       由已知，，要使平面，只需，即

则有，得当是中点时，有平面．

21．解：（1）① 当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，

              与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意．

           ② 若直线不垂直于轴，设其方程，即

              设圆心到此直线的距离为，则，得

              ，

              此时所求直线方程为

              综上所述，所求直线为或．

       （2）设点的坐标为点坐标为，则点坐标是

              即

              又由已知，直线轴，所以，，

              点的轨迹议程是，

轨迹是焦点坐标为，长轴为8的椭圆，并去掉两点．

22．解：，

       （1）由题意：      解得．

       （2）方程的叛别式，

① 当，即时，，在内恒成立，此时在为增函数；

② 当，即或时，

要使在内为增函数，只需在内有即可，

设，

由得，所以．

由①②可知，若在内为增函数，则的取值范围是．

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