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一次高中数学期末考试，选择题共有个，每个选择题给出了四个选项，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 评分标准规定：对于每个选择题，不选或多选或错选得分，选对得分．在这次考试的选择题部分，某考生比较熟悉其中的个题，该考生做对了这个题．其余个题，有一个题，因全然不理解题意，该考生在给出的四个选项中，随机选了一个；有一个题给出的四个选项，可判断有一个选项不符合题目要求，该考生在剩下的三个选项中，随机选了一个；还有两个题，每个题给出的四个选项，可判断有两个选项不符合题目要求，对于这两个题，该考生都是在剩下的两个选项中，随机选了一个选项．请你根据上述信息，解决下列问题：
（Ⅰ）在这次考试中，求该考生选择题部分得分的概率；
（Ⅱ）在这次考试中，设该考生选择题部分的得分为，求的数学期望．

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1．B       2．C       3．B       4．C       5．B       6．B       7．C      8．B       9．C       10．B 

11．C     12．D

【解析】

3．当时，函数在上，恒成立即在上恒成立，可得

       当时，函数在上，恒成立

即在上恒成立

可得，对于任意恒成立

所以，综上得．

4．解法一：联立，得．

方程总有解，需恒成立

即恒成立，得恒成立

       ；又

的取值范围为．

解法二：数形结合，因为直线恒过定点（0，1），要使直线与椭圆总有交点当日仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内，即

       又

       的取值范围为．

5．

7．展开式前三项的系数满足可解得，或（舍去）．从而可知有理项为，故C正确．

8．，欲使为奇函数，须使，观察可知，、不符合要求，若，则，其在上是减函数，故B正确

当时，，其在上是增函数，不符合要求．

9．等价于

画图可知，故．

10．如图乙所示．设，点到直线的距离为，则由抛物线定义得，

又由点在椭圆上，及椭圆第一定义得

由椭圆第二定义得，解之得．

11．从52张牌中任意取13张牌的全部取法为；缺少某一种花色的取法为，缺少两种花色的取法为，缺少三种花色的取法为，根据容斥原理可知四种花色齐全的取法为．

12．设中点为，连．由已知得平面，作，交的延长线于点，连．则为所求，设，则，在

中可求出，则．

二、填空题

13．．

提示：可以用换元法，原不等式为也可以用数形结合法．

令，在同一坐标系内分别画出这两个函数的图象，由图直观得解集．

14．12．提示：经判断，为截面团的直径，再由巳知可求出球的半径为．

15．．提示：由于得

解得，又

所以，当时，取得最小值．

16．①②④

三、解答题

17．懈：

，由正弦定理得，

又，

，化简得

为等边三角形．

说明；本题是向量和三角相结合的题目，既考查了向量的基本知识，又考查了三角的有关知识，三角形的形状既可由角确定。也可由边确定，因此既可从角入手，把边化为角；也可从边入手，把角化为边来判断三角形的形状．

18．解：（1）在第一次更换灯泡工作中，不需要更换灯泡的概率为需要更换2只灯泡的概率为．

       （2）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为，在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为，故所求的概率为．

       （3）当时，

              由（2）知第二次灯泡更换工作中，某盏灯更换的概率

              故至少换4只灯泡的概率为

19．解：]

              因为函数在处的切线斜率为

              所以

              即                                           ①

              又

              得                                      ②

       （1）函数在时有极值

                                    ③

              解式①②③得

              所以．

       （2）因为函数在区间上单调递增，所以导函数在区间的值恒大于或等于零．

              则

              得，所以实数的取值范围为．

20．解：（1）连接因为平面，平面平面

所以；又为的中点，故为的中点

              底面

              为与底面所成的角

              在中，

              所以与底面所成的角为45°．

（2）解法一；如图建立直角坐标系

       则， 

                       设点的坐标为

              故   

              点的坐标为

              故．

       解法二：平面

              ，又

              平面

在正方形中，

．

21．解：（1）设点、的坐标分别为、，点的坐标为

当时，设直线的斜率为

直线过点

的方程为

又已知                                               ①

                                                           ②

                                                        ③

                                                ④

∴式①一式②得

          ⑤

③式+式④得

                             ⑥

              ∴由式⑤、式⑥及

              得点的坐标满足方程

                                        ⑦

当时，不存在，此时平行于轴，因此的中点一定落在轴上，即的坐标为,显然点（，0）满足方程⑦

综上，点的坐标满足方程

设方程⑦所表示的曲线为

则由,

得

因为，又已知，

所以当时． ，曲线与椭圆有且只有一个交点，

当时，，曲线与椭圆没有交点，因为（0，0）在椭圆内，又在曲线上，所以曲线在椭圆内，故点的轨迹方程为

（2）由解得曲线与轴交于点（0，0），（0，）

由解得曲线与轴交于点（0，0）．（，0）

当，即点为原点时，（，0）、（0，）与（0．0）重合，曲线与坐标轴只有一个交点（0，0）．

当，且，即点不在椭圆外且在除去原点的轴上时，曲线与坐标轴有两个交点（0，）与（0，0），同理，当且时，曲线与坐标轴有两个交点（，o）、（0，0）．

当，且时，即点不在椭圆且不在坐标轴上时，曲线与坐标轴有三个交点（，0）、（0，）与（0，0）．

22．（1）解：，又

              是以首项为，公比为的等比数列．

              ．

       （2）证明：设数列的公比为，则条件等式可化为：

数列为等差数列，

       （3）证明：由题意知

                                                     ①

              式①得

                                                ②

              式①-式②得

              ．

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