如图所示，正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁是由一个正三棱锥S-ABCD（底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面正方形的中心）被平行于底面的平面截所得．已知正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁下底面边长为2，上底面边长为1，高为2．
（1）求四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积；
（2）求正四棱锥S-ABCD的体积；
（3）证明：AA₁∥平面BDC₁．

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在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜边AB上的高为h1，则

1

h 2 1

=

1

|CA|2

+

1

|CB|2

；
类比此性质，如图，在四面体P-ABC中，若PA，PB，PC两两垂直，
底面ABC上的高为h，则得到的一个正确结论是

1

h2

=

1

|PA|2

+

1

|PB|2

+

1

|PC|2

1

h2

=

1

|PA|2

+

1

|PB|2

+

1

|PC|2

．

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在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜边AB上的高为h1，则

1

h 21

=

1

|CA|2

+

1

|CB|2

；
类比此性质，如图，在四面体P-ABC中，若PA，PB，PC两两垂直，
底面ABC上的高为h，则得到的一个正确结论是______．

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如图，设S-ABCD是一个高为3的四棱锥，底面ABCD的边长为2的正方形，顶点S在底面上的射影是正方形ABCD的中心，K是棱SC的中点，过AK作平面与线段SB，SD分别交于M，N（M，N可以是线段的端点）．
（1）求直线AK平面SBC所成角的正弦值；
（2）当M是SB中点时，求四棱锥 S-AMKN 的体积．

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1．解析：，故选A。

2．解析：∵

，

故选B。

3．解析：由，得，此时，所以，，故选C。

4．解析：显然，若与共线，则与共线；若与共线，则，即，得，∴与共线，∴与共线是与共线的充要条件，故选C。

5．解析：设公差为，由题意得，；，解得或，故选C。

6．解析：∵双曲线的右焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，∴，又∵，∴，∴，∴双曲线的离心率是。故选B.

7.解析：∵、为正实数，∴，∴；由均值不等式得恒成立，，故②不恒成立，又因为函数在是增函数，∴，故恒成立的不等式是①③④。故选C.

8．解析：∵，∴在区间上恒成立，即在区间上恒成立，∴，故选D。

9．解析：∵

，此函数的最小值为，故选C。

10．解析：如图，∵正三角形的边长为，∴，∴，又∵，∴，故选D。

11．解析：∵在区间上是增函数且，∴其反函数在区间上是增函数，∴，故选A

12．解析：如图，①当或时，圆面被分成2块，涂色方法有20种；②当或时，圆面被分成3块，涂色方法有60种；

③当时，圆面被分成4块，涂色方法有120种，所以m的取值范围是，故选A。

13．解析：做出表示的平面区域如图，当直线经过点时，取得最大值5。

14.解析：∵，∴时，，又时，满足上式，因此，，

∴。

15．解析：设正四面体的棱长为，连，取的中点，连，∵为的中点，∴∥，∴或其补角为与所成角，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴与所成角的余弦值为。

16．解析：∵，∴，∵点为的准线与轴的交点，由向量的加法法则及抛物线的对称性可知，点为抛物线上关于轴对称的两点且做出图形如右图，其中为点到准线的距离，四边形为菱形，∴，∴，∴，∴，∴，∴向量与的夹角为。

17．(10分)解析：（Ⅰ）由正弦定理得，，，…2分

∴，，………4分

（Ⅱ）∵，，∴，∴，………………………6分

又∵，∴，∴，………………………8分

∴。………………………10分

18.解析：（Ⅰ）∵，∴；……………………理3文4分

（Ⅱ）∵三科会考不合格的概率均为，∴学生甲不能拿到高中毕业证的概率；……………………理6文8分

（Ⅲ）∵每科得A，B的概率分别为，∴学生甲被评为三好学生的概率为。……………………12分

（理）∵，，，。……………………9分

∴的分布列如下表：

0

1

2

3

∴的数学期望。……………………12分

19．(12分)解析：（Ⅰ）时，

，，

由得， 或   ………3分

+

0

－

0

+

递增

极大值

递减

极小值

递增

，      ………………………6分

（Ⅱ）在定义域上是增函数，

对恒成立，即 

   ………………………9分

又（当且仅当时，）

 ………………………4分

20．解析：（Ⅰ）∵∥，，∴，∵底面，∴，∴平面，∴，又∵平面，∴，∴平面，∴。………………………4分

（Ⅱ）∵平面，∴，，∴为二面角的平面角，………………………6分

，，∴，又∵平面，，∴，∴二面角的正切值的大小为。………………………8分

（Ⅲ）过点做∥，交于点，∵平面，∴为在平面内的射影，∴为与平面所成的角，………………………10分

∵，∴，又∵∥，∴和与平面所成的角相等，∴与平面所成角的正切值为。………………………12分

解法2：如图建立空间直角坐标系，（Ⅰ）∵，，∴点的坐标分别是，，，∴，，设，∵平面，∴，∴，取，∴，∴。………………………4分

（Ⅱ）设二面角的大小为，∵平面的法向量是，平面的法向量是，∴，∴，∴二面角的正切值的大小为。………………………8分

（Ⅲ）设与平面所成角的大小为，∵平面的法向量是，，∴，∴，∴与平面所成角的正切值为。………………………12分

21.（Ⅰ） 解析：如图，设右准线与轴的交点为，过点分别向轴及右准线引垂线，∵，∴，又∵ ∥，∴，………………………2分

∴，又∵，∴，又∵，解得，∴，∴双曲线的方程为。………………………4分

（Ⅱ）联立方程组   消得：

由直线与双曲线交于不同的两点得：

即   于是 ，且    ………………①………………………6分

设、，则

……………………9分

又，所以，解得      ……………②   

由①和②得    即 或

故的取值范围为。………………………12分

22．(12分)解析：（Ⅰ）∵，∴，∴，∴数列是等差数列，………………………2分

又∵，，∴公差为2，

∴，………………………4分

（Ⅱ）∵，∴，

∴数列是公比为2的等比数列，

∵，∴，………………………6分

（Ⅲ）∵，

∴………………………8分

∴………………………10分

∵，∴，又∵，∴………………………12分