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直线l：y=k（x-1）过已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1经过点（0，

3

），离心率为

1

2

，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、E．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且

MA

=λ

AF

，

MB

=μ

BF

，当直线l的倾斜角变化时，探求λ+μ的值是否为定值？若是，求出λ+μ的值，否则，说明理由；
（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．

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直线l：y=k（x-1）过已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1经过点（0，

3

），离心率为

1

2

，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、E．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且

MA

=λ

AF

，

MB

=μ

BF

，当直线l的倾斜角变化时，探求λ+μ的值是否为定值？若是，求出λ+μ的值，否则，说明理由；
（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．

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一、选择题（每小题5分，满分60分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

B

B

C

D

A

C

A

B

A

C

A

D

二、填空题（每小题4分，满分16分）

13．        14．         15．100          16．③④

三、解答题（第17、18、19、20、21题各12分，第22题14分，共74分）

17．（I）

   （Ⅱ）

            函数的值域为

18．解：（I）记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件

、、，则，且有即

（Ⅱ）的可能取值：0，1，2，3

0

1

2

3

19．（I）设是的中点，连结，

则四边形为方形，，故，

即

又

平面

   （Ⅱ）由（I）知平面，

又平面，，

取的中点，连结又，

则，取的中点，连结则

为二面角的平面角

连结，在中，，

取的中点，连结，，在中，

二面角的余弦值为

法二：

（I）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则

又因为

所以，平面

   （Ⅱ）设为平面的一个法向量。

由得

取，则又，

设为平面的一个法向量，由，，

得取取

设与的夹角为，二面角为，显然为锐角，

，即为所求

20．解：（I）定义域为

        时，时，

        故的单调递增区间是，单调递减区间是

（Ⅱ） 即： 令 

      所以

      在单调递减，在上单调递增

      在上有两个相异实根

21．解：（I）由题意知：

              椭圆的方程为

（Ⅱ）设

      切线的方程为：

      又由于点在上，则

             同理：

      则直线的方程：    则直线过定点（1，0）

（Ⅲ）就是A到直线PQ的距离d的

        取得等号

     的最小值是

22．解：（I）

（Ⅱ）原式两边取倒树，则

     上式两边取对数，则

解得

（Ⅲ）

由题中不等式解得，对于任意正整数均成立

注意到，构造函数

则设函数

由对成立，得为上的减函数，

所以即对成立，因此为上的减函数，

即，故