在2012年达州市高2013届第一次诊断性考试中，某校高2013届10班A、B两数
学小组的数学成绩如茎叶图所示，设A、B两小组的平均数、方差和在区间[90，150]
上的频率分别为

.

xA

、

σ

2 A

、p_A和

.

xB

、

σ

2 B

、p_B，则下面结论正确的是（　　）

A、 . xA = . xB ， σ 2 A ＞ σ 2 B ，pA=pB

B、 . xA = . xB ， σ 2 A ＜ σ 2 B ，pA=pB

C、 . xA ＞ . xB ， σ 2 A ＞ σ 2 B ，pA=pB

D、 . xA = . xB ， σ 2 A = σ 2 B ，pA＜pB

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某校在一次“诊断性”考试中，对该年级的1000名考生的数学成绩进行统计分析，成绩的频率分布直方图如图所示，规定125及其以上为优秀．
（1）下表是这次考试成绩的频数人布表，求正整数a，b的值；

区间	人数
[115，120）	50
[120，125）	a
[125，130）	350
[130，135）	300
[135，140）	b

（2）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；
（3）在（2）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的分布列与数学期望．

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一、选择题（每小题5分，满分60分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

D

C

D

B

B

A

C

C

A

D

A

D

二、填空题（每小题4分，满分16分）

13．-6        14．           15．           16．②③

三、解答题（第17、18、19、20、21题各12分，第22题14分，共74分）

17．（I）

   （Ⅱ）

            函数的值域为

18．解：（I）记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件

、、，则，且有即

（Ⅱ）由（1）

则甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率为：

19．解：法一

（I）设是的中点，连结，

则四边形为方形，，故，

即

又

平面

   （Ⅱ）由（I）知平面，

又平面，，

取的中点，连结又，

则，取的中点，连结则

为二面角的平面角

连结，在中，，

取的中点，连结，，在中，

二面角的余弦值为

法二：

（I）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则

又因为

所以，平面

   （Ⅱ）设为平面的一个法向量。

由得

取，则又，

设为平面的一个法向量，由，，

得取取

设与的夹角为，二面角为，显然为锐角，

，即为所求

20．解：（I）或

        故的单调递增区间是和

         单调递减区间是（0，2）

（Ⅱ）

  在和递增，在（-1，3）递减。

有三个相异实根

21．解：（I）设的公差为，则：

（Ⅱ）当时，，由，得

      当时，，

   ，即

   是以为首项，为公比的等比数列。

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：

22．解：（I）设过与抛物线的相切的直线的斜率是，

         则该切线的方程为：

         由得

         则都是方程的解，故

（Ⅱ）设

      由于，故切线的方程是：

则

，同理

则直线的方程是，则直线过定点（0，2）

（Ⅲ）要使最小，就是使得到直线的距离最小，而到直线的距离

当且仅当即时取等号

设

由得，则