题目列表(包括答案和解析)
已知向量
=（
），
=（
,
），其中（
）．函数
，其图象的一条对称轴为
．
（I）求函数
的表达式及单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，若
=1，b=l，S△ABC=
，求a的值．
【解析】第一问利用向量的数量积公式表示出
，然后利用
得到
，从而得打解析式。第二问中，利用第一问的结论，表示出A，结合正弦面积公式和余弦定理求解a的值。
解：因为
由余弦定理得
，……11分故
如图，直三棱柱
中，
，
，
是棱
的中点.
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值。
如图，直三棱柱
中，
，
，
是棱
的中点.
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值。
中，
，
，
是棱
的中点.
；
的余弦值。
如图，在直三棱柱
中， AB=1，
， 
.
(Ⅰ)证明：
；
（Ⅱ）求二面角A—
—B的余弦值。
一、选择题（每小题5分，满分60分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
C
D
B
B
A
C
C
A
D
A
D
二、填空题（每小题4分，满分16分）
13．-6 14．
15．
16．②③
三、解答题（第17、18、19、20、21题各12分，第22题14分，共74分）
17．（I）
（Ⅱ）
函数
的值域为
18．解：（I）记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件
、
、
，则
，且有
即
（Ⅱ）由（1）
则甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率为：
19．解：法一
（I）设
是
的中点，连结
，
则四边形
为方形，
，故
，
即
又
平面
（Ⅱ）由（I）知
平面，
又
平面，
，
取
的中点
，连结
又
，
则
，取
的中点
，连结
则
为二面角
的平面角
连结
，在
中，
，
取
的中点
，连结
，
，在
中，
二面角的余弦值为
法二：
（I）以
为原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
又因为
所以，平面
（Ⅱ）设
为平面
的一个法向量。
由
得
取
，则
又
，
设
为平面
的一个法向量，由
，
，
得
取
取
设
与
的夹角为
，二面角为
，显然为锐角，
，即为所求
20．解：（I）
或
故
的单调递增区间是
和
单调递减区间是（0，2）
（Ⅱ）
在
和
递增，在（-1，3）递减。
有三个相异实根
21．解：（I）设
的公差为
，则：
（Ⅱ）当
时，
，由
，得
当
时，
，
，即
是以
为首项，
为公比的等比数列。
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：
22．解：（I）设过
与抛物线
的相切的直线的斜率是
，
则该切线的方程为：
由
得
则
都是方程
的解，故
（Ⅱ）设
由于
，故切线
的方程是：
则
，同理
则直线
的方程是
，则直线过定点（0，2）
（Ⅲ）要使
最小，就是使得到直线的距离最小，而到直线的距离
当且仅当
即
时取等号
设
由
得
，则
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