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    (Ⅱ)设,过的直线与双曲线的两渐近线分别交于.两点.与 同向.的面积为．若.求的斜率的取值范围． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知|
    OA
    |、|
    AB
    |、|
    OB
    |成等差数列，且
    BF
    与
    FA
    同向．
    （Ⅰ）求双曲线的离心率；
    （Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

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    双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．

       （Ⅰ）求双曲线的离心率；

       （Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

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    设双曲线的两个焦点分别为、，离心率为2．

    （I）求双曲线的渐近线方程；

    （II）过点能否作出直线，使与双曲线交于、两点，且，若存在，求出直线方程，若不存在，说明理由．

     

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    双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为.

       （Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线：与双曲线交于、两点，问：当为何值时，以为直径的圆过原点；

     

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    双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为 .
    （1）求双曲线的方程；
    （2）设直线：与双曲线交于、两点，问：当为何值时，以 为直径的圆过原点；

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    一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

    （1）B       （2）A        （3）B      （4）A     （5）C       （6）D

    （7）A       （8）C        （9）B      （10）A    （11）D      （12）B

     

    二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

    （13）      （14）      （15）      

    （16）

    三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

    （17）（本小题满分10分）

    （Ⅰ）解法一：由正弦定理得.

    故      ，

    又      ，

    故      ，

    即      ，

    故      .

    因为    ，

    故      ，

          又      为三角形的内角，

    所以    .                    ………………………5分

    解法二：由余弦定理得  .

          将上式代入    整理得．

          故      ，  

    又      为三角形内角，

    所以    ．                    ………………………5分

    （Ⅱ）解：因为．

    故      ，

    由已知  得

     

    又因为  .

    得      ，

    所以    ，

    解得    .    ………………………………………………10分

     

    （18）（本小题满分12分）

     

    （Ⅰ）证明：

                 ∵面，面，

                 ∴．

                 又∵底面是正方形，

           ∴．

                 又∵，

           ∴面，

           又∵面，

           ∴平面平面．    ………………………………………6分

    （Ⅱ）解法一：如图建立空间直角坐标系．

    设，则，在中，.

    ∴、、、、、．

    ∵为的中点，，

    ∴．

            设是平面的一个法向量．

    则由 可求得.

    由（Ⅰ）知是平面的一个法向量，

    且，

    ∴，即.

    ∴二面角的大小为． ………………………………………12分

      解法二：

             设，则，

    在中，.

    设，连接，过作于，

    连结，由（Ⅰ）知面.

    ∴在面上的射影为，

    ∴．

    故为二面角的平面角.

    在中，，，．

    ∴，

    ∴.

    ∴.

    即二面角的大小为． …………………………………12分

     

    （19）（本小题满分12分）

    （Ⅰ）解：设、两项技术指标达标的概率分别为、．

    由题意得：               …………2分

    ∴．

    即一个零件经过检测为合格品的概率为.             …………6分

    （Ⅱ）设该工人一个月生产的20件新产品中合格品有件，获得奖金元，则

    ．        ………………8分

    ～，,               ………………10分

    ．

    即该工人一个月获得奖金的数学期望是800元．      ………………12分

    （20）（本小题满分12分）

    解：（Ⅰ）设双曲线方程为，，

    由，及勾股定理得，

    由双曲线定义得 ．

    则．                ………………………………………5分

     

    （Ⅱ），，故双曲线的两渐近线方程为．

    因为过， 且与同向，故设的方程为，

    则

    又的面积，所以．

    可得与轴的交点为．

    设与交于点，与交于点，

    由得；由得．

    故，

    ，，

    从而．

    故的取值范围是.  …………………………12分

     

    （21）（本小题满分12分）

    解：（Ⅰ），

    ．

    又因为函数在上为增函数，

      在上恒成立，等价于

      在上恒成立.

    又，

    故当且仅当时取等号，而，

      的最小值为．         ………………………………………6分

    （Ⅱ）由已知得：函数为奇函数，

      ， ，  ………………………………7分

    .

    切点为，其中，

    则切线的方程为：   ……………………8分

    由，

    得.

    又，

    ，

    ，

    ，

    或，由题意知，

    从而.

    ，

    ，

    .                    ………………………………………12分

    （22）（本小题满分12分）

    （Ⅰ）解: 由，得

    ，.               …………………………3分

    （Ⅱ）由（Ⅰ）归纳得， ………………………4分

    用数学归纳法证明:

    ①当时，成立.

    ②假设时，成立，

    那么

    所以当时，等式也成立.

    由①、②得对一切成立.  ……………8分

    （Ⅲ）证明: 设，则，

    所以在上是增函数．

    故．

    即．

    因为，

    故．

    =.…………12分

     

     


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