（2012•浦东新区一模）设函数T(x)=

2x，  0≤x＜ 1 2 2(1-x)，   1 2 ≤x≤1

（1）求函数y=T（sin（

π

2

x））和y=sin（

π

2

T（x））的解析式；
（2）是否存在非负实数a，使得aT（x）=T（ax）恒成立，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）定义T_n+1（x）=T_n（T（x）），且T₁（x）=T（x），（n∈N^*）
①当x∈[0，

1

2n

]时，求y=T_n（x）的解析式；
已知下面正确的命题：当x∈[

i-1

2n

，

i+1

2n

]（i∈N^*，1≤i≤2ⁿ-1）时，都有T_n（x）=T_n（

i

2n-1

-x）恒成立．
②对于给定的正整数m，若方程T_m（x）=kx恰有2^m个不同的实数根，确定k的取值范围；若将这些根从小到大排列组成数列{x_n}（1≤n≤2^m），求数列{x_n}所有2^m项的和．

（2012•闵行区一模）设数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，已知4Sn=

a

2 n

+2an+1(n∈N*)．
（1）证明数列{a_n}是等差数列，并求其通项公式；
（2）证明：对任意m、k、p∈N^*，m+p=2k，都有

1

Sm

+

1

Sp

≥

2

Sk

；
（3）对于（2）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．