如图，，，…，，…是曲线上的点，，，…，，…是轴正半轴上的点，且，，…，，… 均为斜边在轴上的等腰直角三角形（为坐标原点）．

（1）写出、和之间的等量关系，以及、和之间的等量关系；

（2）求证：（）；

（3）设，对所有，恒成立，求实数的取值范围．

【解析】第一问利用有，得到

第二问证明：①当时，可求得，命题成立；②假设当时，命题成立，即有则当时，由归纳假设及，

得

第三问 

．………………………2分

因为函数在区间上单调递增，所以当时，最大为，即

解：（1）依题意，有，，………………4分

（2）证明：①当时，可求得，命题成立； ……………2分

②假设当时，命题成立，即有，……………………1分

则当时，由归纳假设及，

得．

即

解得（不合题意，舍去）

即当时，命题成立．  …………………………………………4分

综上所述，对所有，．    ……………………………1分

（3） 

．………………………2分

因为函数在区间上单调递增，所以当时，最大为，即

．……………2分

由题意，有． 所以，

 

已知函数；

（1）若函数在其定义域内为单调递增函数，求实数的取值范围。

（2）若函数，若在[1，e]上至少存在一个x的值使成立，求实数的取值范围。

【解析】第一问中，利用导数，因为在其定义域内的单调递增函数，所以 内满足恒成立，得到结论第二问中，在[1，e]上至少存在一个x的值使成立，等价于不等式 在[1，e]上有解，转换为不等式有解来解答即可。

解：（1），

因为在其定义域内的单调递增函数，

所以 内满足恒成立，即恒成立，

亦即，

即可  又

当且仅当，即x=1时取等号，

在其定义域内为单调增函数的实数k的取值范围是.

（2）在[1，e]上至少存在一个x的值使成立，等价于不等式 在[1，e]上有解，设

 上的增函数，依题意需

实数k的取值范围是

 

设函数f（x）=在[1，+∞上为增函数.  

（1）求正实数a的取值范围；

（2）比较的大小，说明理由；

（3）求证：（n∈N*, n≥2）

【解析】第一问中，利用

解:（1）由已知：，依题意得：≥0对x∈[1，+∞恒成立

∴ax－1≥0对x∈[1，+∞恒成立    ∴a－1≥0即：a≥1

（2）∵a=1   ∴由（1）知：f（x）=在[1，+∞)上为增函数，

∴n≥2时：f（）=

  

 (3)  ∵   ∴

 

一支车队有15辆车，某天依次出发执行运输任务，第一辆车于下午2时出发，第二辆车于下午2时10分出发，第三辆车于下午2时20分出发，依此类推。假设所有的司机都连续开车，并都在下午6时停下来休息。

（1）到下午6时最后一辆车行驶了多长时间？

（2）如果每辆车的行驶速度都是60，这个车队当天一共行驶了多少千米?

【解析】第一问中，利用第一辆车出发时间为下午2时，每隔10分钟即小时出发一辆

则第15辆车在小时，最后一辆车出发时间为：小时

第15辆车行驶时间为：小时（1时40分）

第二问中，设每辆车行驶的时间为:,由题意得到

是以为首项，为公差的等差数列

则行驶的总时间为：

则行驶的总里程为：运用等差数列求和得到。

解：（1）第一辆车出发时间为下午2时，每隔10分钟即小时出发一辆

则第15辆车在小时，最后一辆车出发时间为：小时

第15辆车行驶时间为：小时（1时40分）         ……5分

（2）设每辆车行驶的时间为:,由题意得到

是以为首项，为公差的等差数列

则行驶的总时间为：    ……10分

则行驶的总里程为：

 

一自来水厂用蓄水池通过管道向所管辖区域供水．某日凌晨，已知蓄水池有水9千吨，水厂计划在当日每小时向蓄水池注入水2千吨，且每小时通过管道向所管辖区域供水千吨．

（1）多少小时后，蓄水池存水量最少？

（2）当蓄水池存水量少于3千吨时，供水就会出现紧张现象，那么当日出现这种情况的时间有多长？

【解析】第一问中（1）设小时后，蓄水池有水千吨．依题意，当，即（小时）时，蓄水池的水量最少，只有1千吨

第二问依题意，   解得：

解：（1）设小时后，蓄水池有水千吨．………………………………………1分

依题意，…………………………………………4分

当，即（小时）时，蓄水池的水量最少，只有1千吨． ………2分

（2）依题意，   ………………………………………………3分

解得：．  …………………………………………………………………3分

所以，当天有8小时会出现供水紧张的情况