已知椭圆：的左焦点，若椭圆上存在一点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知两点及椭圆:,过点作斜率为的直线交椭圆于两点,设线段的中点为,连结,试问当为何值时,直线过椭圆的顶点?

(Ⅲ) 过坐标原点的直线交椭圆:于、两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连结并延长交椭圆于，求证：

如图，已知中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作，垂足为E，连结OE。若，分别求AB，OE的长。

(1)　　                   (2)

图13

(1)当点C为的中点时(如图13(1)),求证:CF =EF;

(2)当点C不是的中点时(如图13(2)),试判断CF与EF的相等关系是否保持不变,并证明你的结论.

设,称为的调和平均数，为的加权平均数。如图，为线段上的点，记，为中点，以为直径作半圆。过点作的垂线交半圆于，连结。作，垂足为,过点作的垂线交半圆于点,连接。则图中线段的长度是的算术平均数，线段           的长度是的调和平均数，线段         的长度   是的加权平均数。

已知平面上一定点C（4，0）和一定直线为该平面上一动点，作，垂足为Q，且.

   （1）问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；

   （2）设直线与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.