附加题：
连续函数f（x）满足：对于任何x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）?f（y）成立，且f（x）不是常数函数．
（Ⅰ）求证：对于任意x∈R，都有f（x）＞0；
（Ⅱ）求证：对于任意x∈Q，都有f（x）=[f（1）]^x；
（Ⅲ）设f（1）=a，求证：对于任意x∈R，都有f（x）=a^x．

“我们称使f(x)＝0的x为函数y＝f(x)的零点．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是连续的、单调的函数，且满足f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上有唯一的零点”．对于函数f(x)＝6ln(x＋1)－x²＋2x－1.

(1)讨论函数f(x)在其定义域内的单调性，并求出函数极值；

(2)证明连续函数f(x)在[2，＋∞)内只有一个零点．

已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下的x与f(x)的对应值表

X	1	2	3	4	5	6	7
f(x)	132.1	15.4	－2.31	8.72	－6.31	－125.1	12.6

那么，函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　)

A．5个　　　　　　　　　　B．4个

C．3个                    D．2个

 

已知函数f(x)=e^x-ax，其中a＞0.

（1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

【解析】解：令.

当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值

于是对一切恒成立，当且仅当.　　　　　　　　①

令则

当时，单调递增；当时，单调递减.

故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.

综上所述，的取值集合为.

（Ⅱ）由题意知，令则

令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即

从而，又

所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.