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    中的函数.若对于任意实数α和β恒有不等式 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    若定义在上的函数满足条件：存在实数且，使得：

    ⑴ 任取，有（是常数）；

    ⑵ 对于内任意，当，总有。

    我们将满足上述两条件的函数称为“平顶型”函数，称为“平顶高度”，称为“平顶宽度”。根据上述定义，解决下列问题：

    （1）函数是否为“平顶型”函数？若是，求出“平顶高度”和“平顶宽度”；若不是，简要说明理由。

    （2） 已知是“平顶型”函数，求出 的值。

    （3）对于（2）中的函数，若在上有两个不相等的根，求实数的取值范围。

     

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    已知函数m(x)=log4(4x+1)，n(x)=kx（k∈R）．
    （1）当x＞0时，F（x）=m（x），且F（x）为R上的奇函数．求x＜0时，F（x）的表达式；
    （2）若f（x）=m（x）+n（x）为偶函数，求k的值；
    （3）对（2）中的函数f（x），设g(x)=log4(2x-1-
    43
    a)    ，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

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    已知函数m（x）=log2（4x+1），n（x）=kx（k∈R）．
    （1）当x＞0时，F（x）=m（x）．若F（x）为R上的奇函数，求x＜0时F（x）的表达式；
    （2）若f（x）=m（x）+n（x）是偶函数，求k的值；
    （3）对（2）中的函数f（x），设函数g（x）=log2（a?2x-
    43
    a），其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求a的取值范围．

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    设f（x）是定义在集合D上的函数，若对集合D中的任意两数x1，x2恒有f(
    1
    4
    x1+
    3
    4
    x2)＜
    1
    4
    f(x1)+
    3
    4
    f(x2)    成立，则f（x）是定义在D上的β函数．
    （1）试判断f（x）=x2是否是其定义域上的β函数？
    （2）设f（x）是定义在R上的奇函数，求证：f（x）不是定义在R上的β函数．
    （3）设f（x）是定义在集合D上的函数，若对任意实数α∈[0，1]以及集合D中的任意两数x1，x2恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2），则称f（x）是定义在D上的α-β函数．已知f（x）是定义在R上的α-β函数，m是给定的正整数，设an=f（n），n=1，2，3…m且a0=0，am=2m，记∫=a1+a2+a3+…+am，对任意满足条件的函数f（x），求∫的最大值．

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    已知函数f（x）=
    		3
    x
    a
    +
    		3
    (a-1)
    x
    ，a≠0且a≠1．
    （1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
    （2）已知当x＞0时，函数在（0，
    		6
    ）上单调递减，在（
    		6
    ，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
    （3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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    一、

    C A CBC     A D AB D     B A

    二、

    13．5;   14．;     15． 36;      16．20

    三、

    17．解：（1）依题意得：

    所以：，……4分

    20090508

    （2）设，则，

    由正弦定理：,

    所以两个正三角形的面积和，…………8分

    ……………10分

    ，，

    所以：………………………………………………………………12分

    18．解：（1）；……………………6分

    （2）消费总额为1500元的概率是：……………………7分

    消费总额为1400元的概率是：………8分

    消费总额为1300元的概率是：

    ＝，…11分

    所以消费总额大于或等于1300元的概率是；……………………12分

    19．（1）证明：因为，所以平面，

    又因为，

    平面，

    平面平面；…………………4分

    （2）因为，所以平面，所以点到平面的距离等于点E到平面的距离，

    过点E作EF垂直CD且交于点F，因为平面平面，所以平面，

    所以的长为所求，………………………………………………………………………6分

    因为，所以为二面角的平面角，，

    ＝1，

    点到平面的距离等于1；…………………………………………………………8分

    （3）连接，由平面，，得到，

    所以是二面角的平面角，

    ，…………………………………………………………………11分

    二面角大小是。……12分

    20．解：（1）设等差数列的公差为，依题意得：

    ，

    解得，所以，…………………3分

    所以，

    ，

    所以；…………………………………………………………………6分

    （2），因为，所以数列是递增数列，…8分

    当且仅当时，取得最小值，

    则：，

    所以，即的取值范围是。………………………………………12分

    21．解：（1）设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，

    因为，所以，得到：，注意到不共线，所以轨迹方程为；…………………………………5分

    （2）设点是轨迹C上的任意一点，则以为直径的圆的圆心为，

    假设满足条件的直线存在，设其方程为，直线被圆截得的弦为，

    则

     

    …………………………………………7分

    弦长为定值，则，即，

    此时，……………………………………………………9分

    所以当时，存在直线，截得的弦长为，

        当时，不存在满足条件的直线。……………………………………………12分

    22．解：（1），

    ，……2分

    ，

    由或

    因为当时取得极大值，所以，

    所以的取值范围是：；………………………………………………………4分

    （2）由下表：

    ＋

    0

    －

    0

    －

    递增

    极大值

    递减

    极小值

    递增

    ………………………7分

    画出的简图：

    依题意得：，

    解得：，

    所以函数的解析式是：

    ；……9分

    （3）对任意的实数都有

    ，

    依题意有：函数在区间

    上的最大值与最小值的差不大于，

    ………10分

    在区间上有：

    ,

    的最大值是，

    的最小值是，……13分

    所以

    即的最小值是。………………………………………14分

     

     


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