题目列表(包括答案和解析)
本题12分）已知从“神七”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为
，某
植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子, 每次实验结果相互独立. 假定某
次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．若该
研究所共进行四次实验, 设
表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对
值.
⑴ 求随机变量的分布列及的数学期望
；
⑵ 记“不等式
的解集是实数集
”为事件
，求事件发生的概率
.
（本题满分12分）
从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t.
问：（1）求长方体的容积V关于x的函数表达式；（2）x取何值时，长方体的容积V有最大值？
（本题满分12分）从兰州到天水的某三列火车正点到达的概率分别为
。求⑴这三列火车恰有两列正点到达的概率；⑵这三列火车至少有两列误点到达的概率。
（本题满分12分）
从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t.
问：（1）求长方体的容积V关于x的函数表达式；（2）x取何值时，长方体的容积V有最大值？
（本题满分12分）从5名男生和4名女生选出4人去参加辩论比赛.
（1）求选出的4人中有1名女生的概率；
（2）设X为选出的4人中的女生人数，求X的分布列及数学期望.
1．B 2 D． 3．B 4．C 5．C 6．C 7．B 8．C 9．D 10．B
11．D 12．B
13．240 14．1 15．
16.
①②③
17．（本题满分10分）
解：(Ⅰ)由
又
(Ⅱ)
同理：
故
，
，
.
18．（本题满分12分）
解：(Ⅰ)记“这批太空种子中的某一粒种子既发芽又发生基因突变”为事件
，则
.
(Ⅱ) 
19．（本题满分12分）
解
(Ⅰ)∵
，∴{
}是公差为4的等差数列，
∵a1=1, =
+4(n－1)=4n－3,∵an>0,∴an=
(Ⅱ)bn=Sn+1－Sn=an+12=
,由bn<
,得m>
,
设g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N*上是减函数，
∴g(n)的最大值是g(1)=5,
∴m>5,存在最小正整数m=6,使对任意n∈N*有bn<成立
20．（本题满分12分）
解法一：
（I）设
是
的中点，连结
，则四边形
为正方形，
．故
，
，
，
，即
．
又
，
平面
，
（II）由（I）知
平面，
又
平面，
，
取
的中点
, 连结
，又
，则
．
取
的中点
，连结
，则
,
.
为二面角
的平面角．
连结
，在
中，
，
，
取
的中点
，连结
，
，
在
中，
，
，
．
．
二面角的余弦值为
．
解法二：
（I）以
为原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
，
,
.
，
,
又因为 所以，平面
.
（II）设
为平面
的一个法向量．
由
，
，
得
取
，则
．
又
，，设
为平面
的一个法向量，
由
，
，得
取
，则
，
设
与
的夹角为
，二面角为
，显然为锐角，
,
21．（本题满分12分）
解：(Ⅰ) 
,
在
上是增函数，在
上是减函数,
∴当
时, 取得极大值.
∴
即
.
由
,
得
,
则有 
,
递增
极大值4
递减
极小值0
递增
所以, 当
时,函数的极大值为4;极小值为0; 单调递增区间为和.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知, 
,
的两个根分别为
. ∵在上是减函数,∴
,即
,
.
22．（本题满分12分）
解:（I）依题意，可知
，
∴ 
，解得
∴椭圆的方程为
（II）直线
：
与⊙
相切，则
，即
，
由
，得
，
∵直线与椭圆交于不同的两点
设
∴
，
，
∴
∴
∴
，
∴
设
，则
，
∵
在
上单调递增
∴
.
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