如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=

2

，∠CDA=45°．
（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；
（II）设AB=AP．
（i）若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；
（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．

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如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC．
（I）求证：平面PBE⊥平面PBD；
（II）若二面角P-AB-D为45°，求直线PA与平面PBE所成角的正弦值．

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如图：直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD是边长为2a的菱形，∠BAD=60°，E为AB中点，二面角A₁-ED-A为60°．
（I）求证：平面A₁ED⊥平面ABB₁A₁；
（II）求二面角A₁-ED-C₁的余弦值；
（III）求点C₁到平面A₁ED的距离．

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如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD
（I）求证：平面PAD⊥平面PCD
（II）试在平面PCD上确定一点 E 的位置，使|

AE

|最小，并说明理由；
（III）当AD=AB时，求二面角A-PC-D的余弦值．

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如图，多面体ABCD-EFG中，底面ABCD为正方形，GD∥FC∥AE，AE⊥平面ABCD，其正视图、俯视图如下：
（I）求证：平面AEF⊥平面BDG；
（II）若存在λ＞0使得

AK

=λ

AE

，二面角A-BG-K的大小为60°，求λ的值．

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1．B    2 D．  3．B    4．C      5．C     6．C    7．B    8．C    9．D   10．B

11．D   12．B

13．240   14．1     15．  16. ①②③

17．（本题满分10分）

解：(Ⅰ)由

    又   

(Ⅱ)

同理：

故，，.

18．（本题满分12分）

解：(Ⅰ)记“这批太空种子中的某一粒种子既发芽又发生基因突变”为事件，则.    

(Ⅱ)

19．（本题满分12分）

解  (Ⅰ)∵，∴{}是公差为4的等差数列，

∵a₁=1, =+4(n－1)=4n－3,∵a_n>0,∴a_n= 

(Ⅱ)b_n=S_n+1－S_n=a_n+1²=,由b_n<,得m>,

设g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N^*上是减函数，

∴g(n)的最大值是g(1)=5,

∴m>5,存在最小正整数m=6,使对任意n∈N^*有b_n<成立

20．（本题满分12分）

解法一：

（I）设是的中点，连结，则四边形为正方形，

．故，，，，即．

又，

平面，                                   

（II）由（I）知平面，

又平面，，

取的中点, 连结，又，则．

取的中点，连结，则,.

为二面角的平面角．

连结，在中，，，

取的中点，连结，，

在中，，，．

．

二面角的余弦值为．

解法二：

（I）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，,.

，,

又因为 所以，平面.

（II）设为平面的一个法向量．

由，，

得    取，则．

又，，设为平面的一个法向量，

由，，得取，则，

设与的夹角为，二面角为，显然为锐角，

,

21．（本题满分12分）    

解：(Ⅰ) ,_{在上是增函数，在上是减函数,}

_{∴当时, 取得极大值.}

_∴即.

_由,得,

_{则有 ,}

_递增

_极大值4

_递减

_极小值0

_递增

_所以, 当时,函数的极大值为4;极小值为_0; 单调递增区间为_和.

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知, _,的两个根分别为. ∵_{在上是减函数,∴},即,

_.

22．（本题满分12分）

解:（I）依题意，可知，

∴  ，解得

∴椭圆的方程为

（II）直线：与⊙相切，则，即，

由，得，

∵直线与椭圆交于不同的两点设

∴，

，

∴

∴       ∴，

∴

设，则，

∵在上单调递增          ∴.