题目列表(包括答案和解析)
（本题满分14分）
已知实数
，曲线
与直线
的交点为
(异于原点
)，在曲线
上取一点
，过点
作
平行于
轴，交直线
于点
，过点作
平行于
轴，交曲线于点
，接着过点
作
平行于轴，交直线于点
，过点作
平行于轴，交曲线于点
，如此下去，可以得到点
，
，…,
,… . 设点的坐标为
，
.
（Ⅰ）试用
表示
，并证明
；
（Ⅱ）试证明
，且
（
）；
时，求证：
（）.（本题满分14分）
已知函数
图象上一点
处的切线方程为
．
(Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若方程
在
内有两个不等实根，求
的取值范围（其中
为自然对数的底数）；
（Ⅲ）令
，若
的图象与
轴交于
，
(其中
)，
的中点为
，求证：在
处的导数
．
（本题满分14分）
已知曲线
方程为
，过原点O作曲线的切线
（1）求的方程；
（2）求曲线，及
轴围成的图形面积S；
与
的大小，并说明理由。（本题满分14分）
已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆，左焦点
，一个顶点坐标为（0,1）
（1）求椭圆方程；
（2）直线
过椭圆的右焦点
交椭圆于A、B两点，当△AOB面积最大时，求直线方程。
（本题满分14分）
如图，在直三棱柱
中，
,
,求二面角
的大小。 
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题：
11. 
； 12. 
；
13. 
；
14. 
；
15. 
； 16. ③ ④ .
三、解答题：
17.解：（1）在
中，由
，得
， 又由正弦定理：
得：
.
……………………4分
（2）由余弦定理：
得：
，
即
，解得
或
（舍去），所以
.
……8分
所以，
即
.
…………………12分
18.解：（1）依题意，双曲线的方程可设为：
、
，
则
解之得：
，
所以双曲线的方程为：
.
……………………6分
（2）设
、
，直线
与
轴交于
点，此点即为双曲线的右焦点，由
消去
，得
，
此方程的
且
，
，
所以、两点分别在左、右支上，不妨设在左支、在右支上 ………9分
则由第二定义知：
，
， …………11分
所以
，即
. ………14分
（亦可求出、的坐标，用两点间距离公式求.）
19.（1）当点
为
的中点时，
与平面
平行.
∵在
中，、
分别为、
的中点
∴∥
又
平面，而
平面
∴∥平面.
……………………4分
（2）证明（略证）：易证
平面
，又是
在平面内的射影，
，∴
.
……………………8分
(3)∵
与平面
所成的角是
，∴
，
，
.
过作
于
，连
，则
. …………………10分
易知：
，
，设
，则
，
，
在
中，
，
得
.
………14分
解法二:（向量法）（1）同解法一
（2）建立图示空间直角坐标系，则
，
，
，
.
设，则
∴ （本小题4分）
（3）设平面
的法向量为
，由
，
得：
，
依题意
，∴
，
得.
（本小题6分）
20.解：（1）
，
∴可设
，
因而
①
由
得 
②
∵方程②有两个相等的根，
∴
，即
解得 
或
由于
，（舍去），将 代入 ① 得
的解析式
.
…………………6分
（2）
=
，
∵
在区间
内单调递减，
∴
在上的函数值非正，
由于，对称轴
，故只需
，注意到，∴
，得
或
（舍去）
故所求a的取值范围是
.
…………………11分
（3）时，方程
仅有一个实数根，即证方程
仅有一个实数根.令
，由
，得
，
，易知
在
，
上递增，在
上递减，的极大值
，的极小值
，故函数的图像与轴仅有一个交点，∴时，方程仅有一个实数根，得证.
……………………16分
21.解：（1）
， ……………………1分
=
.
……………………4分
（2）
，
……………………5分
，………7分
∴数列
是
为首项，
为公比的等比数列. ……………………8分
（3）由（2）知
， Sn =
， ……………9分
=
∵0<
<1，∴>0，
，0<
<1，
，
∴
，
……………………11分
又当
时，
，∴
， ……………………13分
∴
<
.……14分
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