已知向量（），向量，，

且.

（Ⅰ）求向量； （Ⅱ）若，，求.

【解析】本试题主要考查了向量的数量积的运算，以及两角和差的三角函数关系式的运用。

（1）问中∵，∴，…………………1分

∵，得到三角关系是，结合，解得。

（2）由，解得，，结合二倍角公式，和,代入到两角和的三角函数关系式中就可以求解得到。

解析一：（Ⅰ）∵，∴，…………1分

∵，∴，即   ①  …………2分

又 ②   由①②联立方程解得，，5分

∴     ……………6分

（Ⅱ）∵即，，  …………7分

∴，               ………8分

又∵，          ………9分

，            ……10分

∴．

解法二: (Ⅰ)，…………………………………1分

又，∴，即，①……2分

又    ②

将①代入②中，可得   ③    …………………4分

将③代入①中，得……………………………………5分

∴   …………………………………6分

(Ⅱ) 方法一 ∵,，∴，且……7分

∴，从而.      …………………8分

由(Ⅰ)知， ；     ………………9分

∴.     ………………………………10分

又∵，∴， 又，∴    ……11分

综上可得  ………………………………12分

方法二∵,，∴，且…………7分

∴.                                 ……………8分

由(Ⅰ)知， .                …………9分

∴             ……………10分

∵，且注意到，

∴，又，∴   ………………………11分

综上可得                    …………………12分

（若用，又∵ ∴ ，

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边,cosB＝.

⑴ 若cosA＝－,求cosC的值；  ⑵ 若AC＝,BC＝5，求△ABC的面积.

【解析】第一问中sinB＝＝, sinA＝＝

cosC＝cos(180°－A－B)＝－cos(A＋B)                ＝sinA.sinB－cosA·cosB

＝×－(－)×＝

第二问中，由＝＋－2AB×BC×cosB得 10＝＋25－8AB

解得AB＝5或AB＝3综合得△ABC的面积为或

解：⑴ sinB＝＝, sinA＝＝,………………2分

∴cosC＝cos(180°－A－B)＝－cos(A＋B)                  ……………………3分

＝sinA.sinB－cosA·cosB                            ……………………4分

＝×－(－)×＝                   ……………………6分

⑵ 由＝＋－2AB×BC×cosB得 10＝＋25－8AB   ………………7分

解得AB＝5或AB＝3，                               ……………………9分

若AB＝5，则S_△ABC＝AB×BC×sinB＝×5×5×＝    ………………10分

若AB＝3，则S_△ABC＝AB×BC×sinB＝×5×3×＝……………………11分

综合得△ABC的面积为或

已知点为圆上的动点，且不在轴上，轴，垂足为，线段中点的轨迹为曲线，过定点任作一条与轴不垂直的直线，它与曲线交于、两点。

（I）求曲线的方程；

（II）试证明：在轴上存在定点，使得总能被轴平分

【解析】第一问中设为曲线上的任意一点，则点在圆上，

∴，曲线的方程为

第二问中，设点的坐标为，直线的方程为，　　………………3分　 　

代入曲线的方程，可得　

∵，∴

确定结论直线与曲线总有两个公共点．

然后设点,的坐标分别, ，则，  

要使被轴平分，只要得到。

（1）设为曲线上的任意一点，则点在圆上，

∴，曲线的方程为．  ………………2分       

（2）设点的坐标为，直线的方程为，　　………………3分　 　

代入曲线的方程，可得　，……5分            

∵，∴，

∴直线与曲线总有两个公共点．（也可根据点M在椭圆的内部得到此结论）

………………6分

设点,的坐标分别, ，则，   

要使被轴平分，只要，            ………………9分

即，，        ………………10分

也就是，，

即，即只要　 ………………12分　 

当时，（＊）对任意的s都成立，从而总能被轴平分．

所以在x轴上存在定点，使得总能被轴平分

一自来水厂用蓄水池通过管道向所管辖区域供水．某日凌晨，已知蓄水池有水9千吨，水厂计划在当日每小时向蓄水池注入水2千吨，且每小时通过管道向所管辖区域供水千吨．

（1）多少小时后，蓄水池存水量最少？

（2）当蓄水池存水量少于3千吨时，供水就会出现紧张现象，那么当日出现这种情况的时间有多长？

【解析】第一问中（1）设小时后，蓄水池有水千吨．依题意，当，即（小时）时，蓄水池的水量最少，只有1千吨

第二问依题意，   解得：

解：（1）设小时后，蓄水池有水千吨．………………………………………1分

依题意，…………………………………………4分

当，即（小时）时，蓄水池的水量最少，只有1千吨． ………2分

（2）依题意，   ………………………………………………3分

解得：．  …………………………………………………………………3分

所以，当天有8小时会出现供水紧张的情况