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用a，b，c，d四个不同字母组成一个含n+1（n∈N⁺）个字母的字符串，要求由a开始，相邻两个字母不同．例如n=1时，排出的字符串是ab，ac，ad；n=2时排出的字符串是aba，abc，abd，aca，acb，acd，ada，adb，adc，…，如图所示．记这含n+1个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是a的字符串的种数为a_n．
（1）试用数学归纳法证明：an=

3n+3(-1)n

4

(n∈N*，n≥1)；
（2）现从a，b，c，d四个字母组成的含n+1（n∈N^*，n≥2）个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是a的概率为P，求证：

2

9

≤P≤

1

3

．

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DCABC CBBAC

11

12   23

13  2

14  4π

15 

16解 （1）             1分

                             2分

由已知有            4分

                       6分

   （2）         10分

       =                      11分

       =                                12分

17解：（1）设红球有个，白球个，依题意得   1分

 ，       3分

解得                           

故红球有6个．                      5分

（2）记“甲取出的球的编号大”为事件A，

   所有的基本事件有：(1，2)，(l，3)，(1，4)，

(2，1)，(2，3)，(2，4)，

(3，1)，(3，2)，(3，4)，

(4，1)，(4，2)，(4，3)，

共12个基本事件        8分

事件A包含的基本事件有：(1，2)，(1，3)，（1，4）（2，1），

（2，3），（3，1），（3，2）（4，1），

共8个基本事件         11分

所以，．                  12分

18解：（1）底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∠ACB=90°，∴ AC⊥BC，  （2分）

又在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC底面ABC，∴CC₁⊥AC，（3分）

  BC．CC₁平面BCC₁，且BC 与CC₁相交

∴ AC⊥平面BCC₁； （5分）

而BC₁平面BCC₁

∴ AC⊥BC₁   （6分）

（2）设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC₁的中点，

∴ DE//AC₁，  （8分）

∵ DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，

∴ AC₁//平面CDB₁；（10分）

（3）   （11分）

=-    （13分）

=20    （14分）

19解：（1）设椭圆的半长轴长．半短轴长．半焦距分别为a,b,c,则有

,

由椭圆定义，有             ………1分

＝……………………………2分

       ＝   ……………………3分

      ≥        …………………………………………5分

     ＝＝             ……………………………………………6分

∴的最小值为。

（当且仅当时，即取椭圆上下顶点时，取得最小值 ）………………………………………7分

（2）设的斜率为，

则，                  …………………………………………8分

                      …………………………………………9分

∴＝ 及  …………………………………………10分

则＝＝ 又…………………………………………12分

∴                     …………………………………………13分

故斜率的取值范围为（）   …………………………………………14分

20解：（1），……………………1分

即，

即，，         …………………………………………2分

∴为等差数列，                     …………………………………………3分

又，                        …………………………………………4分

∴，                 …………………………………………5分

∴      …………………………………………7分

（2）                  …………………………………………8分

当时，

…………………………………………11分

，

…………………………………………13分

的整数部分为18。   …………………………………………14分

21解：（1）    ………（1分）

        由解得：    ………（2分）

        当或时，     ………（3分）

        当时，     ………（4分）

        所以，有两个极值点：

        是极大值点，；      ………（5分）

        是极小值点，。   ………（6分）

     (2) 过点做直线，与的图象的另一个交点为A，则,即   ………（8分）

         已知有解，则

          解得   ………（10分）

         当时，；        ………（11分）

         当时，，，

         其中当时，；………（12分）

          当时，　　　　……（13分）

   所以，对任意的，的最小值为（其中当时，）．……（14分）

     （以上答案和评分标准仅供参考，其它答案，请参照给分）lf