练习册

  • 练习册
  • 试题
    5．函数极限有哪些性质 和数列极限性质完全相仿.函数极限也具有以下几个性质: 性质1．若.且A>B.则存在δ>0.使当时. f． 证明:取那么存在当时.有,同时又存在.当时.有.现在.令.那么当时.就有 性质2．若且存在δ>0.使当时.f.则A≤B． 性质3．若而A>B.则存在δ>0.使当时,f． 性质4．若则A=B.这说明了函数极限的惟一性． 证明:采用反证法.如果A≠B.不妨设A>B.由性质1知道.存在δ>0.当时.有f矛盾.这就证明了A=B 性质5．若存在δ>0.使当时.f.并且 则 性质6．若.则存在着δ>0.使得f(x)在区间和内有界.亦即在不等式所表示的区间内有界． [注:若函数f(x)在某个区间Z内满足A≤f(x)≤B.其中A.B是两个常数.我们称f(x)在Z内有界.并称A是f在Z内的上界．显然.对任何α>0.A-α都是f(x)的下界.同样对任何β>0.B+β都是f(x)的上界．这个定义也可以这样叙述:设函数f(x)在某个区间Z内满足|f(x)|≤M.其中M是一个正实数.我们就称f(x)在Z内有界．以上两种说法显然是等价的．] 证明:取-个固定的ε.譬如说取ε=1.由知道.存在δ>0.当时.有A-1<f(x)<A+1.这就证明了f(x)在和内有界． 要注意的是.由极限存在.只能断定函数在相应的某个去心邻域内有界.而不能断定它在整个定义域内有界．例如,它的定义域是.由前面的例子知道．根据性质6.存在某个δ>0.在内.有界．但是这个函数在它的定义域内有.它的图形是一条抛物线.但除去x=1.可见在内是无界的． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)


    同步练习册答案